南京市2018届高三数学考前综合题及答案 教师版

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1、南京市2018届高三数学考前综合题一.填空题1.已知l,m是空间两条不重合的直线,α,β是两个不同的平面.给出下列命题:①若l∥α,l∥m,则m∥α;②若lÌα,mÌβ,α∥β,则l∥m;③若lÌα,mÌβ,l⊥m,则α⊥β;④若α⊥β,l⊥α,m⊥β,则l⊥m.其中是真命题的有.(填所有真命题的序号)【答案】④.【说明】考查基本的直线与直线,直线与平面,平面与平面基本位置关系的判断.2.已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)为偶函数,θ∈[0,π],则角θ的值为.【答案】.【提示】因为f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)

2、为偶函数,所以f(x)=f(-x)恒成立,即sin(x+θ)+cos(x-θ)=sin(-x+θ)+cos(-x-θ)展开并整理得(cosθ+sinθ)sinx=0恒成立.所以cosθ+sinθ=0,即tanθ=-,又θ∈[0,π],所以θ=.【说明】本题考查函数的奇偶性,以及三角恒等变换,这类问题也可以利用特殊值代入建立方程求解.3.在平面直角坐标系xOy中,过抛物线x2=4y焦点的直线l交抛物线于M,N两点,若抛物线在点M,N处的切线分别与双曲线C2:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线平行,则双曲线的离心率为.【答案】.【提示】由双曲线:

3、-=1(a>0,b>0)的渐近线方程y=±x,可得两条切线的斜率分别为±,则两条切线关于y轴对称,则过抛物线C1:x2=4y焦点(0,1)的直线l为y=1,可得切点为(-2,1)和(2,1),则切线的斜率为±1,即a=b,于是e=.【说明】本题考查抛物线、双曲线的简单几何性质,要能通过分析得到直线l为y=1,这是本题的难点.4.已知点P是△ABC内一点,满足=λ+μ,且2λ+3μ=1,延长AP交边BC于点D,BD=2DC,则λ+μ=.【答案】.【提示】因为BD=2DC,所以=+由于与共线,设=m,则于是2λ=μ,又2λ+3μ=1,解得λ=,μ=

4、,所以λ+μ=.【说明】本题考查平面向量表示,向量基本定理,共线定理以及三点共线的向量表示,本题可用基底法,也可通过坐标法解决.5.已知数列{an}的前n项和为Sn,{a2n-1}是公差为d的等差数列,{a2n}是公比为q的等比数列,且a1=a2=a,S2:S4:S6=1:3:6,则的值是.【答案】2【提示】S2=2a,S4=a1+a3+a2+a4=2a+d+a+aq=3a+d+aq,S6=a1+a3+a5+a2+a4+a6=3a+3d+a+aq+aq2=,因为S2:S4:S6=1:3:6,所以(2a):(3a+d+aq):(4a+3d+aq+

5、aq2)=1:3:6,即所以2aq-aq2=a.因为a≠0,所以2q-q2=1即q=1,所以d=2a,从而=2.【说明】本题考查等差、等比数列的基本量运算,需要学生有一定的运算能力.6.已知函数f(x)=-x+,若直线l1,l2是函数y=f(x)图像的两条平行的切线,则直线l1,l2之间的距离的最大值是.【答案】2.【提示】设切线l1,l2的切点为P(x1,y1),Q(x2,y2),x1>x2,因为f′(x)=--,切线l1,l2平行,所以--=--,因此有x1=-x2>0,切线l1,l2的方程分别为y=(--)x+,y=(--)x+,于是l1

6、,l2之间的距离d===≤=2,当且仅当x1=时取等号,于是d的最大值为2.【说明】本题考查导数的几何意义,基本不等式,解决问题时要有消元的意识.7.在平面直角坐标系xOy中,点P是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,F为椭圆C的右焦点,直线FP与圆O:x2+y2=相切于点Q,若Q恰为线段FP的中点,则椭圆C的离心率为.【答案】.【提示】设椭圆C的左焦点为F1,连接PF1,OQ,因为Q为线段FP中点,O为线段F1F中点,所以,PF1=b,PF=2a-b,又OQ⊥PF,所以PF1⊥PF,因此PF12+PF2=F1F2,所以b2+(2a-b)2=(

7、2c)2,即b2+(2a-b)2=4(a2-b2),可得=,所以e=.【说明】本题考查椭圆的几何性质,要能运用几何特征简化运算,本题也可以设点求解.8.实数x,y满足x2+2xy+4y2=1,则x+2y的取值范围是.【答案】[-,].【提示】设x+2y=t,则y=,代入x2+2xy+4y2=1得:x2-tx+t2-1=0,则△=t2-4(t2-1)≥0,解得-≤t≤.【说明】注意利用方程有解,求参数的范围.这一方法在数列填空题中经常会用到,例如:已知等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,且S2+2,S3+4,S4+6成等比数列,则公差d

8、的最小值是.转化为关于a1和d的方程,看作关于a1的方程有解,列出关于d的不等式即可,答案-1.9.ABNM已知AB=4,点M,N是以AB为直径的半圆

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