量子力学讲稿(修改)

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1、第十九章量子力学基础提示量子力学是描述微观粒子运动的基本理论,是近代物理学两大理论支柱之一。主要内容:量子力学基本概念与原理在势阱、原子结构等方面应用量子力学既适用于微观世界,也适用于宏观世界,经典物理学是其近似。19.1波函数及其统计解释一、波函数写成复数形式1.平面简谐波的波函数对振幅A、频率ν、波长λ沿x轴传播平面波式中—波矢—角频率;一般形式zyxo2.自由粒子波函数对能量E、动量实物粒子有由波粒二象性,比照平面波波函数,得到——自由粒子状态波函数,是振幅。1o波函数是波()、粒(p,E)二象性统一可以描述粒子状

2、态,也称为态函数。这是量子力学的基本原理(假设)之一。2o在随时间和位置变化力场空间里的粒子,其波函数要复杂一些,这时k、ν随时间空间变化二、波函数的统计解释1.玻恩统计解释▲在空间的某一点波函数模的平方和该点找到粒子的几率成正比。▲德布罗意波不代表实在的物理量波动,而是刻画粒子在空间的概率分布的概率波。粒子性:某处明亮则某处光子多,即N大波动性:某处明亮则某处光强大,即I大I大,光子出现概率大;I小,光子出现概率小。光子数NIA22.数学表示t时刻,在端点处单位体积中发现粒子的概率,称为概率密度。即t时刻在端点附近

3、d内发现粒子的概率为:Ψrdyxz这是玻恩给出的统计解释。。物理意义,有意义的是三、波函数的要求波函数的归一性:根据波函数统计解释,在空间各点的概率总和必须为1。▲不同于经典波的波函数,它无直接的注意:若——归一化因子则波函数的单值性:根据统计解释,要求波函数单值,从而保证概率密度在任意时刻都是确定的。势场性质和边界条件要求波函数及其一阶导数是连续的。波函数的连续性:对波函数作出的统计解释,获得1954年诺贝尔物理学奖。玻恩(M.Born,英籍德国人,1882—1970)波函数的有限性:根据波函数统计解释,在空间任

4、何有限体积元中找到粒子的概率必须为有限值。薛定谔ErwinSchrodinger奥地利人1887-1961创立量子力学获1933年诺贝尔物理学奖19.2薛定谔方程问题提出经典粒子微观粒子薛定谔方程一、薛定谔方程建立1.自由粒子的薛定谔方程对自由粒子,波函数是:微分,得到方程同样引入拉普拉斯算符利用得到——自由粒子薛定谔方程。2.算符规则作用一个函数而得到另一个函数运算符号能量算符:能量E能量算符动量算符:动量动量算符其中梯度算符3.粒子薛定谔方程在势能为力场中,粒子能量是相应哈密顿算符为薛定谔方程二、薛定谔方程的特点10

5、薛定谔方程是时间的一次微分方程,而牛顿方程是二次方程20波函数无直接物理意义,虽是复函数,并不影响薛定谔方程结果的物理意义。30薛定谔方程的建立引用了经典结果,是非相对论结果。且方程不适合质量m=0的结果。19.3定态薛定谔方程定态:能量具有确定值的状态(与t无关)左边是t的函数,右边是函数,则满足可以分离变量。与t无关,-常数满足的方程为——定态薛定谔方程由时间微分方程解得数学上看:E为何值该方程都有解。满足波函数的条件(单值、有限、连续、归一)物理上看:特定的E值称为能量本征值。10E只有取一些特定值该方程的解才能这

6、些特定的E值所对应的波函数称为:能量本征函数。这一方程又称为:能量本征值方程。这一波函数所描述的量子态称为定态。其解为19.4一维无限深势阱势阱:粒子所受力场满足其势能曲线象一个无限深的阱,称为无限深势阱,a是势阱宽度。…………a0x势阱外:一、本征波函数求解势阱内:粒子不能跑到外面,故方程的通解为令由连续性条件:粒子能量满足相应的波函数是由归一化条件:二、讨论1.能量的量子化∎能量最小值不是零,且不连续;∎势阱尺度是原子大小时,不连续才表现明显。a0E1EnE4E3E22.驻波理解节点的位置:n=1时,节点位置是x

7、=0,a……a0ψnψ4ψ3ψ2ψ1驻波形成:根据波的叠加思想视为两个反向传播的平面波合成。例如:n=2时,节点位置是x=0,a/2,a3.粒子位置的几率分布wmax=2/aa0

8、n

9、2

10、4

11、2

12、3

13、2

14、2

15、2

16、1

17、2几率密度是10极值情况极大:节点间中心位置极小:节点处,,wmin=020宏观粒子位置几率均匀,n→∞的微观情况。19.5氢原子几个假设:(1)原子核视为静止不动,单体问题。(2)势能与时间无关,定态问题。(3)E<0,束缚态。一、氢原子的薛定谔方程电子薛定谔方程是r考虑球坐标系,利用坐标关系zx

18、y电子云L·Lz分离变量,有整理含有三个常微分方程式中l、ml均为常数,求解时仍应满足标准条件和归一化条件。1.主量子数和能量量子化二、量子化结果E<0,束缚态;能量是分立的,称为分立譜。n=1,2,…称为主量子数与玻尔理论一致。2、角量子数和角动量量子化l=0,1,2,…,n-1称为角量子数l决定电子绕核运动角动量

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