谱分析和带限外推的新算法.pdf

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1、:谱分析和带:限外推的新算法’apus.APoli美国纽约工业学院)(、一引言付氏分析和谱估计的一个中心问题是根据信号ft的有限段来确定其变换)。,·`F(。,一d`产、」产声!{,(`,一叮、了,O曰工、、犷其中f(t)的有限段为,梦,`t,:`,:一1乙T()一l()()}}!<分1仁0!云{沐T:1kmTuy〔1,已知的估计方法可以分为下面两种类型()(参看lB毗如一如)能获取的信号口,:段(t)乘上窗函数侧()t再积分二。,一r。一,一,;岔,3二(),(,),(,)一d,一F(。)w()

2、()fJ一T告汤两厂J一.。,,一把上式作为尸(。)的估计器变换对切(t)#万(,o)是这样选择的使误差〔尸(。)F(。)〕在。,,某种意义上最小氏a]在这个方法中当}云!>T时估计器’F武。)的反变换f(t)勿(t)等于零。,。(2)f(t)的未知部分不象(1)那样假设为。而是通过某种形式的外推来确定只有对F(。)。的形式作了各种先验假设后这才是可能的。类型(2)包括最大嫡川方法(参看附录A)和用外推法求带限函数的各种技术带限函数,,如果函数f(t)的能量是有限的以及它的变换’F(。)在有限区间

3、外等于0即F(。)二o当}。!>,(4)。则我们说f(灼是带限函数一云`s],t个带限函数在整个轴上是解析的因而由它的泰勒展开式可以对于所有得封,。,,f(幻于是我们得到基于(4)式的一个外推方法(解析开拓)当然正如大家所熟知的我们。不能应用它从实数据中恢复f()t,g在这篇文章里我们推导了由给定的节段()t来计算f()t和它的变换尸(司的一个新。。方法这个方法的基础是一个只包含离散付氏级数和rFT的简单有效的算法这个算法以”.-赞ANewAlgthminSpeetAnalyisandBand-m

4、itedExtarlaitonIEEEs一夕2No9币arliLOPcA1975.一如一。,,摸拟形式给出数值计算过程是数字化的但是由于大家对模数转换都已熟知详细的叙述。就省略了我们要指出,Gerhcbegr在最近的一篇文章中把我们所建议的算法(见第二节)用于图象【。处理6,。另一个外推带限函数的方法是把。(t)展开成椭球函数的级数`,,在第五节中我们的方法。将与这个方法进行比较二、计算带限函数付氏变换的迭代法我们希望根据带限口tt。2。函数f()t的有限段()来确定f()的付氏变换F()(见()

5、式和图1),gg。,我们提出的方法是一种迭代法它从给定的一段()t=()t的付氏变换G(。)开始其中G加)。曰一,g“一’“`一G()上(`)d公第竹步。迭代过程如下作函数,。,二一1。。。,,1!。!<’F(。)=G(),(),(司=(5)o,。“1}>如图2所示,它是由截断。一,。G(。)得到的然后计算它的反:变换。二。j“`f(t)~尸(。)d。(6),竹一

6、一一一。乡:t[f(t)f(t)]()1tlT1T1百.已贾恤.即用f(t)的已知部分g(t)来代替气一,,。(TT

7、)区间内的f()t第牡步迭代最后计算这样构成的函数。。:图1末知变换对l(F(夕(亡)的变换G(劝)t之司和第一步迭代信号。。一.,·`,。,8G()(,一“(,{{,,,我们注意到f()t是带限的它由下式给出:gin叮t。。一:f(公)=g(t)令一一二二一一(9)兀`这是根据(5〔8]得到)式和卷积同理。,,的由(9)式我们得知厂()t可以n一、图2第步迭代信号作为输入为入(t)的理想低通滤一41一。一。,皱器的输出而得到在滤波器的输出端有一个二输入选通门把开关从f()t转到f(的的给,,。,

8、,定节段城司(如(7)式)这个选通门就可以产生g(约(见图3)下一节将证明当-.,。,.t。,时f(t)F(讨分别趋向于f()及F(。)因此这个迭代法是计算尸(劝和用外推法求函数。带限f(t)的一个方法徽值计算举例说明我们把这个方法应用到变换对1鑫次器,9哟图a迭代的模拟的ó`一éó、场ó么“,心一之、óù·2一一4一一一一`.……三三三石共二公姿泛。。图49(,)和e(。)的计算机输出Sin叮才f(t),界二,4,,268`t.4分—一日in口云t。f()。斗尸(。)=,(。)苏t,,,,。,选

9、择T一二/5。一2468时的数值结果示于图4正如我们从图上看到的虽然数据区间,。。,。只是f()t主瓣的转F()收敛到未知谱夕(。)仍是很快的以这个T值用窗函数方法估计。,尸(。)是不能得到满意的结果的我们要指出这个例子具有较快的收敛速度是由于在函数na二t,。,,ist/的展开式中只是头几项才有意义我们在第四节要证明如果情况不是这样则收。敛是很慢的均方误差的减小、arseva【.,从(5)(7)式和Pl公式得到二田一。:。。一·。’!’F()G一(,{`。>尸,(,F(,“`·命