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时间:2021-01-14
《2021届新高考数学二轮培优点9 平面向量数量积的最值问题(解析版).docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、培优点9 平面向量数量积的最值问题【方法总结】平面向量部分,数量积是最重要的概念,求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义,从不同角度对数量积进行转化.【典例】 (1)已知⊥,
2、
3、=,
4、
5、=t,若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21【答案】 A【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系,则B,C(0,t),=,=(0,t),A=+=t+(0,t)=(1,4),∴P(1,4),·=·(-1,t-4)=17-≤17-2=13,当且仅当t=时等号成立.∴·的最大值等于13.(2)如图,已知P是半径为
6、2,圆心角为的一段圆弧AB上的一点,若=2,则·的最小值为________.【答案】 5-2【解析】 以圆心为坐标原点,平行于AB的直径所在直线为x轴,AB的垂直平分线所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),则A(-1,),C(2,),设P(2cosθ,2sinθ),则·=(2-2cosθ,-2sinθ)·(-1-2cosθ,-2sinθ)=5-2cosθ-4sinθ=5-2sin(θ+φ),其中07、围、最值,比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解析式,转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以还有一种思路是数形结合,应用图形的几何性质.【拓展训练】1.在△ABC中,若A=120°,A·=-1,则8、9、的最小值是________.【答案】 【解析】 由·=-1,得10、11、·12、13、·cos120°=-1,即14、15、·16、17、=2,所以18、19、2=20、-21、2=2-2·+2≥222、23、·24、25、-2·=6,当且仅当26、27、=28、29、=时等号成立,所以30、31、min=.2.(2020·天津)如图,在四边形ABCD中,∠B32、=60°,AB=3,BC=6,且=λ,·=-,则实数λ的值为________,若M,N是线段BC上的动点,且33、34、=1,则·的最小值为________.【答案】 【解析】 因为=λ,所以AD∥BC,则∠BAD=120°,所以·=35、36、·37、38、·cos120°=-,解得39、40、=1.因为,同向,且BC=6,所以=,即λ=.在四边形ABCD中,作AO⊥BC于点O,则BO=AB·cos60°=,AO=AB·sin60°=.以O为坐标原点,以BC和AO所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系.如图,设M(a,0),不妨设点N在点M右侧,则N(a+1,0),且-≤a≤.又D,所以=41、,=,所以·=a2-a+=2+.所以当a=时,·取得最小值.3.已知平面向量a,b,e满足42、e43、=1,a·e=1,b·e=-2,44、a+b45、=2,则a·b的最大值为________.【答案】 -【解析】 不妨设e=(1,0),a=(1,m),b=(-2,n)(m,n∈R),则a+b=(-1,m+n),故46、a+b47、==2,所以(m+n)2=3,即3=m2+n2+2mn≥2mn+2mn=4mn,则mn≤,所以a·b=-2+mn≤-,当且仅当m=n=时等号成立,所以a·b的最大值为-.4.在平行四边形ABCD中,若AB=2,AD=1,·=-1,点M在边CD上,则·的最大值48、为________.【答案】 2【解析】 在平行四边形ABCD中,因为AB=2,AD=1,·=-1,点M在边CD上,所以49、50、·51、52、·cosA=-1,所以cosA=-,所以A=120°,以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,AB的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,所以A(0,0),B(2,0),D.设M,-≤x≤,因为=,=,所以·=x(x-2)+=x2-2x+=(x-1)2-.设f(x)=(x-1)2-,因为x∈,所以当x=-时,f(x)取得最大值2.
7、围、最值,比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解析式,转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以还有一种思路是数形结合,应用图形的几何性质.【拓展训练】1.在△ABC中,若A=120°,A·=-1,则
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9、的最小值是________.【答案】 【解析】 由·=-1,得
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11、·
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13、·cos120°=-1,即
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15、·
16、
17、=2,所以
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19、2=
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21、2=2-2·+2≥2
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23、·
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25、-2·=6,当且仅当
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27、=
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29、=时等号成立,所以
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31、min=.2.(2020·天津)如图,在四边形ABCD中,∠B
32、=60°,AB=3,BC=6,且=λ,·=-,则实数λ的值为________,若M,N是线段BC上的动点,且
33、
34、=1,则·的最小值为________.【答案】 【解析】 因为=λ,所以AD∥BC,则∠BAD=120°,所以·=
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36、·
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38、·cos120°=-,解得
39、
40、=1.因为,同向,且BC=6,所以=,即λ=.在四边形ABCD中,作AO⊥BC于点O,则BO=AB·cos60°=,AO=AB·sin60°=.以O为坐标原点,以BC和AO所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系.如图,设M(a,0),不妨设点N在点M右侧,则N(a+1,0),且-≤a≤.又D,所以=
41、,=,所以·=a2-a+=2+.所以当a=时,·取得最小值.3.已知平面向量a,b,e满足
42、e
43、=1,a·e=1,b·e=-2,
44、a+b
45、=2,则a·b的最大值为________.【答案】 -【解析】 不妨设e=(1,0),a=(1,m),b=(-2,n)(m,n∈R),则a+b=(-1,m+n),故
46、a+b
47、==2,所以(m+n)2=3,即3=m2+n2+2mn≥2mn+2mn=4mn,则mn≤,所以a·b=-2+mn≤-,当且仅当m=n=时等号成立,所以a·b的最大值为-.4.在平行四边形ABCD中,若AB=2,AD=1,·=-1,点M在边CD上,则·的最大值
48、为________.【答案】 2【解析】 在平行四边形ABCD中,因为AB=2,AD=1,·=-1,点M在边CD上,所以
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50、·
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52、·cosA=-1,所以cosA=-,所以A=120°,以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,AB的垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,所以A(0,0),B(2,0),D.设M,-≤x≤,因为=,=,所以·=x(x-2)+=x2-2x+=(x-1)2-.设f(x)=(x-1)2-,因为x∈,所以当x=-时,f(x)取得最大值2.
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