2021届新高考数学二轮培优点9 平面向量数量积的最值问题（解析版）.docx

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1、培优点9　平面向量数量积的最值问题【方法总结】平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．【典例】　(1)已知⊥，

2、

3、＝，

4、

5、＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)A．13B．15C．19D．21【答案】　A【解析】　建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，A＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，当且仅当t＝时等号成立．∴·的最大值等于13.(2)如图，已知P是半径为

6、2，圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若＝2，则·的最小值为________．【答案】　5－2【解析】　以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，)，C(2，)，设P(2cosθ，2sinθ)，则·＝(2－2cosθ，－2sinθ)·(－1－2cosθ，－2sinθ)＝5－2cosθ－4sinθ＝5－2sin(θ＋φ)，其中0

7、围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．【拓展训练】1．在△ABC中，若A＝120°，A·＝－1，则

8、

9、的最小值是________．【答案】　【解析】　由·＝－1，得

10、

11、·

12、

13、·cos120°＝－1，即

14、

15、·

16、

17、＝2，所以

18、

19、2＝

20、－

21、2＝2－2·＋2≥2

22、

23、·

24、

25、－2·＝6，当且仅当

26、

27、＝

28、

29、＝时等号成立，所以

30、

31、min＝.2．(2020·天津)如图，在四边形ABCD中，∠B

32、＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且

33、

34、＝1，则·的最小值为________．【答案】　　【解析】　因为＝λ，所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，所以·＝

35、

36、·

37、

38、·cos120°＝－，解得

39、

40、＝1.因为，同向，且BC＝6，所以＝，即λ＝.在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则BO＝AB·cos60°＝，AO＝AB·sin60°＝.以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系．如图，设M(a,0)，不妨设点N在点M右侧，则N(a＋1,0)，且－≤a≤.又D，所以＝

41、，＝，所以·＝a2－a＋＝2＋.所以当a＝时，·取得最小值.3．已知平面向量a，b，e满足

42、e

43、＝1，a·e＝1，b·e＝－2，

44、a＋b

45、＝2，则a·b的最大值为________．【答案】　－【解析】　不妨设e＝(1,0)，a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)，则a＋b＝(－1，m＋n)，故

46、a＋b

47、＝＝2，所以(m＋n)2＝3，即3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝4mn，则mn≤，所以a·b＝－2＋mn≤－，当且仅当m＝n＝时等号成立，所以a·b的最大值为－.4．在平行四边形ABCD中，若AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上，则·的最大值

48、为________．【答案】　2【解析】　在平行四边形ABCD中，因为AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上，所以

49、

50、·

51、

52、·cosA＝－1，所以cosA＝－，所以A＝120°，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以A(0,0)，B(2,0)，D.设M，－≤x≤，因为＝，＝，所以·＝x(x－2)＋＝x2－2x＋＝(x－1)2－.设f(x)＝(x－1)2－，因为x∈，所以当x＝－时，f(x)取得最大值2.