高等数学课件数项级数及收敛准则.ppt

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1、二、交错级数及其收敛准则三、绝对收敛与条件收敛第2-3节一、正项级数及其收敛准则常数项级数的收敛准则第十一章一、正项级数及其收敛准则若定理1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”都有定理2(比较判别法)设且存在对一切有(1)若级数则级数(2)若级数则级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨(1)若级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若级数因此这说明级数也发散.也收敛.发散,收敛,级数

2、例1.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较判别法可知p级数发散.发散,因为当故考虑级数的部分和故级数收敛,由比较判别法知p级数收敛.时,2)若调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较判别法可知,所给级数发散.例2.定理3.(比较判别法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当0

3、,若是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.的敛散性.例3.判别级数的敛散性.解:根据比较判别法的极限形式知例4.判别级数解:根据比较判别法的极限形式知～～定理4.比式判别法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较判别法可知因此所以级数发散.时(2)当说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.从而例5.讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;对任

4、意给定的正数定理5.根式判别法(Cauchy判别法)设为正项级则证明提示:即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.数,且时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说明:但级数收敛;级数发散.例6.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn近二、交错级数及其收敛判别法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述

5、级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛三、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较判别法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令例7.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.(2)令因此收敛,绝对收敛.一般项级数敛散性总结绝对收敛收敛,反之不真.如果用比式判别法或根式判别法得出绝对值级数发散,则原级数一定发散.所有判别法都有局限性,不能用判别法判定时,只能用部分和列是否收敛来判定.绝

6、对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.(绝对收敛级数重排不影响其和.条件收敛级数重排影响其敛散性与和。)其和分别为定理9.(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为级数乘积的排列方式：正方形级数乘积的排列方式：对角线（柯西乘积）条件收敛级数柯西乘积不一定收敛.内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数收敛判别法必要条件不满足发散满足比式判别法根式判别法收敛发散不定比较判别法用它法判别积分判别法部分和极限3.任意项级数收敛判别法为收敛级

7、数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.备用题1.判别级数的敛散性:解:(1)发散,故原级数发散.不是p–级数(2)发散,故原级数发散.2.则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析:∴(B)错;又C