利用均值不等式求最值的方法

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1、利用均值不等式求最值的方法均值不等式当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。一、配凑1.凑系数例1.当时，求的最大值。解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当且仅当，即x＝2时取等号。所以当x＝2时，的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可

2、得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2.凑项例2.已知，求函数的最大值。解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。∵∴当且仅当，即时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。33.分离例3.求的值域。解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当，即时（当且仅当x＝1时取“＝”号）。当，即时（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。∴的值域为。评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不

3、等式来求最值。二、整体代换例4.已知，求的最小值。解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。当且仅当时取等号，由3即时，的最小值为。评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。三、其他例5.求函数（）的最大值.解析：当且仅当，即时取等号。评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。［练一练］1.若，求的最大值。2.求函数的最小值。3.求函数的最小值。4.已知，且，求的最小值。参考答案：1.2.53.8

4、4.3