工程矩阵往年试题分析

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1、第一章1.（20%）已知的子空间，分别求，，，的一组基及它们的维数。2.（18%）设上的线性变换定义为：，其中，(1)求在的基下的矩阵；(2)分别求的特征值及相应的特征子空间的一组基及它们的维数；(3)给出的最小多项式；(4)问：是否存在的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？3.（20%）设上的线性变换定义为：，其中，表示矩阵的迹。(1)求在的基下的矩阵；(2)求的值域及核子空间的基及它们的维数；(3)问：+是否为直和？为什么？4.（20%）假设矩阵，在上定义映射如下：对任意，(1)证明：是上的线性变换；(2)求在的基下的矩阵；(3)求的值域及核子空间的各一组基及它们的维数；(4)问：是否成立？为

2、什么？(5)试求的Jordan标准形，并写出的最小多项式；(6)问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？5.(16%)上的线性变换定义如下：,(1)求在的基下的矩阵；(2)求的值域及核子空间的各一组基及它们的维数；5(3)问：是否成立？为什么？6.（8%）设为线性空间上的线性变换，且.试证：；7.若阶方阵与满足：①.；②.；③.则（证明时请注明每一步的理由）.第二章1.（10%）设的子空间=，。试求，使得。2.在上定义内积。的子空间。试求，使得。3.（10%）假设，的由生成的子空间，。在中求向量，使得。4.（10%）设是一维欧氏空间，是一单位向量，是一参数，上的线性变换定义为：，问：当取

3、何值时，是正交变换？5.记。。定义上先行变换如下：(1)求的值域的一组基，并给出的两个不同的子空间，使得；(2)问：是否为正交变换？为什么？第三章1.已知的特征多项式与最小多项式都是，分别求及的Jordan标准形.2.（8%）已知阶方阵满足，且的秩是，求.3.（12%）设矩阵，。(1)根据的不同的值，讨论矩阵的所有可能的Jordan标准形；(2)若与是相似的，问：参数应满足什么条件？试说明你的理由。54.假设矩阵的特征多项式及最小多项式都等于，并且。(1)分别给出和的Jordan标准形；(2)问：与是否相似？为什么？5.证明：若方阵的特征值全为零，则必存在正整数，使。6.已知矩阵。(1)试写出

4、矩阵的特征多项式，最小多项式，及矩阵的秩；(2)如果矩阵与有相同的特征多项式，有相同最小多项式，并且与的秩也相同，问：与是否一定相似？说明你的理由。7.（12%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式相等，均等于，矩阵。(1)分别给出和的Jordan标准形；(2)问：与是否相似？为什么？8.（16%）设矩阵。(1)试分别求的特征多项式和最小多项式；(2)写出的Jordan标准型；(3)求；第四章1.假设是正规矩阵。若的特征值全是实数，证明：是Hermite矩阵。2.假设、都是Hermite矩阵。证明是Hermite矩阵当且仅当。3.假设是Hermite矩阵，证明：是酉矩阵。4.5证明：Hermite

5、阵和酉矩阵都是正规阵。试举一例说明存在这样的正规阵，它既不是Hermite矩阵，也不是酉矩阵。5.若维列向量的长度小于2，证明：是正定矩阵。6.假设是酉矩阵,是矩阵。证明：是酉矩阵当且仅当是酉矩阵。7.假设是酉矩阵,是Hermite矩阵，并且。记。证明：存在酉矩阵，使得是对角阵。8.若是正规矩阵，则是酉矩阵的充要条件是的特征值的模全为1；9.若阶Hermite矩阵为正定阵，又是阶方阵且也是正定阵，则的谱半径。10.若方阵的特征值全为零，则必存在正整数，使.11.设是阶正定矩阵，是维非零列向量.若当时，总有，则必线性无关第五章1.（10%）设为方阵，作，设是参数.(1)试证：；(2)已知，，求.

6、2.（15%）设，求的特征多项式、最小多项式，并求矩阵函数。3.试证：.4.（10%）试证：若为阶正规矩阵，则5.设是相容矩阵范数。证明：对任意方阵，的谱半径；6.证明：对任意方阵，（这里，表示矩阵的行列式，表示矩阵的迹）；5第六章1.（10%）设为矩阵，为矩阵，作.求（用表示）；2.（12%）假设矩阵，试求的广义逆矩阵。3.假设矩阵，求的广义逆矩阵。4.（15%）假设矩阵，求的广义逆矩阵。5.（15%）假设矩阵，求的广义逆矩阵。6.（15%）假设矩阵，求的广义逆矩阵。7.设，。求的Jordan标准形。8.设是正规阵，证明：。5