利用数学提高竞赛数学的趣味性

利用数学实验提高竞赛数学的趣味性 1.问题的提出 竞赛数学，俗称奥数，是我国数学教育的传统强项，无论是普及程度还是 竞赛水平都位居世界前列，我国选在历届参赛的国际数学奥林匹克竞赛 （IMO）中，都有优异的表现。但是，近年来受功利主义的驱动， “奥数”出现 了泛化的趋势，连小学数学竞赛都被冠以“奥数”的头衔，出现了“全民奥数” 的不正常现象，引起许多人对奥数的批判和反思。批评者认为：奥数并不教给 学生科学研究的方法，而只是一味追求偏、难、怪的解题技巧，舍弃了数学最 核心，也是最有用的数学思想方法；还有人对我国获得 IMO 奖牌的选手进行了 追踪调查，发现“这些公认的数学尖子基本上没有在数学研究上做出突出成就 的，甚至鲜有喜欢数学的” ，由此认为奥数一无是处，更有甚者宣称“奥数已成 公害，对学生危害堪比黄、赌、毒” 。 与我国相比，国外的奥数则显得非常冷清。比如日本，虽然奥数教育也很 成功，但日本只有 6%作用的中小学生有过奥数学习的经历，或者正在学习奥数。 美国也类似，中小学生对数学感兴趣的不多，但对数学感兴趣的人，则会非常 投入。这些学生由于兴趣支撑，发展后劲很大。对于这一点，我国奥数教育家 熊斌老师在谈对国内外 IMO 选手的对比时也感慨的说：“相对国内的 IMO 选 手而言，国外选手尽管也有相当强的竞争意识，但在日常积累的过程中操练的 成分更少一些。而且，相对而言，他们将数学抽象思维与生活场景结合的能力 更强。 ” 其实奥数的教育价值早已经被世界各国教育界肯定，所谓 IMO 奖牌获得 者后来的成就普遍不大，在世界范围内根本就不成立。之所以出现前面所述的 种种弊端，主要是因为我们大多用一种急功近利的心态去对待奥数，教师都大 多采用“超前学习知识，枯燥题海训练”的应试教育模式进行教学，使学生对 奥数甚至数学产生了恐惧和厌烦，即使少数同学能坚持学下去，也多数是为了 获得升学加分或保送的奖励。这也正是国内的 IMO 获奖选手一旦升入大学就很 少选择数学专业的主要原因。丘成桐先生一针见血的指出：“国外奥数考得好 的学生，往往能够成才，而我们的学生不一定能成才，因为国内是机械性的学 数学，不是出于兴趣。 ” 基于以上分析，我们非常有必要探讨如何提高奥数学习的趣味性，使其真 正成为“较高层次的基础教育、开发智力的素质教育、生动活泼的业余教育、 现代数学的普及教育” 。 同时，为了与已被泛化的“奥数”一词相区别，下文 将在相应的地方使用“竞赛数学” ，同时将其限定在中学，尤其是高中范围内进 行讨论。 2 竞赛数学的基本特点 数学竞赛的是以解题为核心的比赛，因此竞赛数学的教学主要是围绕着解 题而展开的。就内容而言，它在广度和深度上都对中学数学进行了大幅度加深， 涉及代数、几何、初等数论、和组合等领域，数学的抽象、严谨等特点在竞赛 数学中表现的尤为突出。同时，由于竞赛的需要，竞赛数学的问题往往具有深 厚的高等数学背景，并呈现非模式化的特点，灵活性很强。学习者除了要有扎 实的数学基本功，还要有更强的抽象思维能力和数学直觉。 由于竞赛数学内容表现出很强的抽象性，且大多远离实际生活背景（与大 学基础数学专业的研究有很多相似之处） ，同时，竞赛数学教学主要占用课余时 间，教学时间紧、任务重，因此多数教师都是采用讲授法进行教学，几乎没有 人使用数学实验、数学史等教学方法。笔者认为，竞赛数学虽然有其特殊性， 但仍然应当遵循数学教育的一般规律。如前所述，竞赛数学同高等数学具有许 多的相似之处，高等院校数学教学改革（如开展数学建模、数学实验等活动） 表明，我们应该，也完全可以改变以往那种一味“题海战术”的教学方式。 3．提高竞赛数学趣味性的基本途径 3.1 数学史融入竞赛数学教学 数学竞赛，尤其是 IMO 的试题大多具有深厚的数学史背景，甚至直接来自 某些著名的定理或历史名题。例如第一届数学奥林匹克国家集训队就提供了这 样一道训练题： 试题 1 设为实多项式，且对任何，（即是正定的）( )f xaR( )0f a ( )f x 求证：存在多项式，使( ), ( )g x h x 22 ( )( )( )f xgxhx 说明：本题其实有着深厚的历史背景。在 1900 年，德国数学家希尔伯特 （Hilbert）在巴黎国际数学家大会上提出了 23 个数学问题，即著名的 Hilbert 问题，引导着整个 20 世纪世界数学研究的潮流。此题就来源于其中的第 17 个 问题：关于的实系数正定有理函数是否一定可表成有限个关于的 1,n xxK 1,n xxK 实系数有理函数的平方和. 在教学中，将往届试题的这种背景展示给学生，可以很好的激发学生的学 习热情，使他们以研究的角度看待竞赛数学学习，而不是单纯的为了应试而学。 3.2 实际应用融入竞赛数学教学 从表面上看，竞赛数学研究的对象大多远离实际应用，以至于许多把数学 竞赛看作是纯粹的智力挑战。其实，与实际应用没有任何关联的数学是不存在 的。即使以往被视为“最纯洁”的数论，今天也已经广泛运用在了密码等多个 领域。再者，人毕竟不能“不食人间烟火” ，还是希望能学到“有用”的数学， 因此如果将竞赛数学与实际应用联系起来，能够极大的激发学生的学习兴趣。 例如，1978 年北京市数学竞赛就以著名的 Butchart-Moster 定理的一个推论（定 理 1）为基础，设计了一个与实际应用密切相关的竞赛题，不过遗憾的是这类 竞赛试题出现的还较少。 定理 1 设，，则函数 1n aaL 1 ,, n Q  L 存在唯一的极小值. 11 ( )|||| nn f xxaxaL 试题 2：图一是一个化工厂的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，七 个工厂分布在公路两侧，由一些小路 127 ,,A AAL （细线）与公路相连。现在要在公路上设一个长 途汽车站，车站到个工厂（沿公路、小路走）的 距离总和越小越好，问： （1） 这个车站设在什么地方最好？ （2） 证明你所做的结论； (3) 如果在 P 的地方又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路， 那么这时车站设在什么地方好？ 分析:①与 P 到距离之和是定值，记为 (17) i Ai  1234567 ()()()()()()()Sd ABd A Cd A Dd A Dd A Ed A Fd A F ②可将公路拉直，则 B、C、D、E、F 的位置关系不变，且它们的距离之和 不变，即这个拉直变换既保序又保距，可以将该直线视为数轴.设长途汽车站设 在处，则问题变为求，x 12345 ( )|||| 2|||| 2||f xSxaxaxaxaxa 其中分别表示 B、C、D、E、F 到原点的距离（第三问与之类似） ， 12345 ,,,,a a a a a 这样就转化成了定理 1 的形式，可以求得的最小值点。( )f x 2.3 数学实验融入竞赛数学教学 奥数学习与其它的学习一样，是一个由直观到抽象，由简单到复杂的过 程。 数学实验可以给学生提供丰富的数学学习体验，成为其学习抽象程度更高的数 学知识的必要基础。相对常规数学，竞赛数学复杂且抽象，要进行数学实验一 般要借助计算机才能完成。一般来说，我们可以将竞赛数学中的数学实验分为 两大类：基于算法思想的验证归纳模式和基于图形变化的模拟演示模式，下面 进行简单介绍。 2.3.1 验证归纳模式 在数学问题解决中，一般要首先从特殊情况入手进行归纳，然后提出猜想， 并检验猜想，最后才是严格的推理与证明，这在竞赛数学中表现的尤为突出。 这主要是因为，应试教育中借助“题海战术”使学生在解题时“一帆风顺”的 策略在数学竞赛中是不可能成功的，竞赛数学的问题解决者更像一个研究者， 要完整的经历数学发现的各个阶段。 由于竞赛数学的问题一般涉及“无限”或大数字（如数论） ，手工计算进行 验证、归纳往往难度较大，使用计算机可以将学生从繁琐的机械计算中解放出 来，将精力集中在算法的设计和寻找证明的等更富创造性的活动上。本类型的 数学的关键是设计相应的算法，并使用高级程序设计语言实现之。 试题 3：确定是否存在满足下列条件的正整数，使得恰好能被 2000 个互补nn 相同的质数整除，且能够被整除.(2000 年第 41 届 IMO)21 n n 2.3.2 模拟演示模式 平面几何是竞赛数学的一个基本模块，此外许多代数问题也需要借助数形 结合思想从“形”的角度进行研究。本类型的数学实验主要是借助几何画板、 Matlab 等专业软件，直观演示相关量的运动变化过程， 揭示其规律，进而解决 问题。 试题 4：给定凸四边形 ABCD，BC=AD，且 BC 不平行于 AD.设点 E 和 F 分别 在边 BC 和 AD 内部，满足 BE=DF。直线 AC 和 BD 相交于 P，直线 BD 和 EF 相交于 Q，直线 EF 和 AC 相交于 R。求证：当 E、F 变动时，的外接圆 PQR 除经过 P 外还过另一个定点. 分析：在几何画中根据题设构建相应模型，如图三所示，线段为标记量，改 a 变其长度，则 E、F 也会相应的在 BC 和 AD 上移 动。在此过程中，观察的外接圆，可以发现 PQR 它除一定过 P 外，还总过内一点，由此大胆 PDC 猜想：该定点为完全四边形 APBGDC 的 Moqueil 点。在几何画板中构造该点， 并重复前述变化过程，可发现猜想成立，证明略. 3．结束语 笔者坚信，作为基础数学教育的一个分支，竞赛数学必须要遵循数学教 学的一般规律。在目前数学改革的背景下，竞赛数学教学也应当与时俱进的进 行教学方法的改革，决不能再使用那种“超前学习，题海训练”的填鸭式教学 方法。同时，竞赛数学的教材也应当进行相应的改革，尽量增加教材的趣味性， 便于教和学。当然，凡事过犹不及。首先，竞赛数学的一个目标是培养学生更 强的（相对非奥数学习者）抽象思维能力和空间想象能力，过度强调增加数学 史、数学实验等丰富学生直观体验的内容并不利于这一目标的实现，其次，竞 赛数学的问题往往比较复杂、抽象，而教学时间又很紧（以课外学习为主） ，因 此很难也没有必要处处考虑问题的趣味性。总的来说，笔者认为，我们应当引 导学生以研究者的态度考察问题的数学史背景，从中学习解决的问题的思想方 法；像现代数学家那样，注重数学实验，以便提出猜想；增强数学应用意识， 提高数学建模能力，提高综合数学修养，为未来的发展打下坚实的基础。