椭圆的定义与几何性质试题库

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1、椭圆的定义及几何性质考点突破：圆锥曲线的定义及几何性质多以基础题为主，侧重基础知识的掌握和基本数学思想方法的灵活应用，难度不大。考查形式一是定义及基本性质为主的客观题，是容易题；二是以综合题的形式考查圆锥曲线的定义和性质，中档题。预计2015考查椭圆、抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质，双曲线的的标准方程技几何性质较大。复习中注意基本概念和基本思想方法的掌握，同时注意运算中的减负如设而不求，活用定义，妙用平面的几何性质等，勇于联想、探索、大胆实践，提升解题能力。题型一：椭圆的定义及其应用1、判断轨迹：例：已知是定点，动点M满足，且则点M的轨迹为（）A．椭

2、圆B.直线C.圆D.线段分析：紧扣椭圆的定义。解：由题意得，且则所以点M的轨迹为线段。点评：求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．变式：1已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点．若，则．【知识点】椭圆的定义解：因为+4a=20，，所以=8.

3、【思路点拨】在圆锥曲线中，当遇到圆锥曲线上的点与其焦点的关系问题时，注意应用其定义建立等量关系进行解答.2、利用定义例：已知椭圆＋＝1与双曲线－y2＝1的公共焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2的值为(　　)．A.B.C.D.[审题视点]结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求．B　[因点P在椭圆上又在双曲线上，所以

4、PF1

5、＋

6、PF2

7、＝2，

8、PF1

9、－

10、PF2

11、＝2.设

12、PF1

13、＞

14、PF2

15、，解得

16、PF1

17、＝＋，

18、PF2

19、＝－，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝.]方法锦囊：涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要自觉地运用

20、椭圆、双曲线的定义．涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化到抛物线的准线的距离．变式：1、(2011·青岛模拟)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.[审题视点]关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有

21、PF1

22、＋

23、PF2

24、＝2a，再利用⊥，进而得解．解析　由题意知

25、PF1

26、＋

27、PF2

28、＝2a，⊥，∴

29、PF1

30、2＋

31、PF2

32、2＝

33、F1F2

34、2＝4c2，∴(

35、PF1

36、＋

37、PF2

38、)2－2

39、PF1

40、

41、PF2

42、＝4c2，∴2

43、PF1

44、

45、PF2

46、＝4a2－4c2＝4b2

47、.∴

48、PF1

49、

50、PF2

51、＝2b2，∴S△PF1F2＝

52、PF1

53、

54、PF2

55、＝×2b2＝b2＝9.∴b＝3.答案　3方法总结：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求

56、PF1

57、·

58、PF2

59、；通过整体代入可求其面积等．2、已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)．A．2B．6C．4D．12解析　由椭圆的定义知：

60、BA

61、＋

62、BF

63、＝

64、CA

65、＋

66、CF

67、＝2a，∴周长为4a＝4(F是椭圆的另外一个焦点)．答案　C3、已知F

68、1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(　　)A．6B．5C．4D．3解析：选A由椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.4、已知F1，F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于两点，△AF1B的内切圆的周长为，则为(　　)解析：选A由椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝20，△AF1B的面积为S，3、转化定义例：设椭圆＋＝1和双曲线－x2＝1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则

69、PF1

70、·

71、PF2

72、的值等于_______

73、_．解析：焦点坐标为(0，±2)，由此得m－2＝4，故m＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得

74、PF1

75、＋

76、PF2

77、＝2，

78、

79、PF1

80、－

81、PF2

82、

83、＝2两式平方相减得4

84、PF1

85、

86、PF2

87、＝4×3，

88、PF1

89、·

90、PF2

91、＝3.知识总结：要深刻理解椭圆的定义，其定义是由椭圆上得点到焦点的距离来刻画的，只要涉及椭圆上的点到焦点（定点）的距离时多考虑椭圆的定义。变式练习：1.已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则

92、PM

93、＋

94、PN

95、的最小值为(　　)A．5B．7C．13D．15解析：选B　由题意知椭圆的两个焦点

96、F1，F2分别是两圆的圆心，且

97、PF1

98、＋

99、PF2

100、