浙教版初二(上)数学的第三讲-全等三角形地相关模型

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1、实用标准文档第三讲全等三角形的相关模型【要点梳理】要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD≌△AEC（2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：要点二：角平分线模型特点：由角平分线构成了的两个三角形。结论：（1）△AFG≌△AEG（2）FG=GE变形：精彩文案实用标准文档要点三：半角模型特点：结论：（1）MN=BM+DN（2）△CMN的周长=2AB（3）AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM变形：要点四：等腰直角三角形模型1.在斜边上任取一点的旋转全等操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°

2、，使△ACM≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形。（2）过点C作BC⊥MC，连AM导出上述结论2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等操作过程：连AD.（1）使BF=AE（或AF=CE），导出△BDF≌△ADE（2）使∠EDF+∠BAC=180°，导出△BDF≌△ADE3.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：要点五：双垂直模型特点：图形中包含两条垂线，且有一组边或角相等。结论：若AD=BD,则BH=AC变形：∠1=∠2，则AE=AF∠1=∠2，∠BAP=∠DAP，则AE=AF，AP⊥CF精彩文案实用标准文档要点六：三垂直模型特点：图形中包含三条

3、垂线，且有一组边。结论：（1）△ABE≌△BCD（2）ED=AE-CD变形：要点七：全等三角形问题中常见的辅助线的作法1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形。2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形。3.遇到角平分线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线；（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形；（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，

4、然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。以上利用的思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形。4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6.已知某线段的垂直平分线，可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，形成一对全等三角形。7.在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角

5、形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。【典型例题】例1（手拉手模型）：如图，点C为线段AB上一点，△ABC、△CDE是等边三角形，请你证明：。（1）AD=BE（2）∠ACB=∠AOB（3）△PCQ为等边三角形（4）PQ∥AE（5）AP=BQ（6）CO平分∠AOE（7）OA=OB+OC（8）OE=OC+OD精彩文案实用标准文档例2（角平分线模型）：如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC。举一反三：1、如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分BAC，求证∠A+∠C=180°2、如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是

6、∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。求证：3、△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。例3（半角模型）：在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+DN，求证：①∠MAN=45°；②△CMN的周长=2AB；③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM举一反三：1、在正方形ABCD中，已知∠MAN=45°，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动：①试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；②求证：AB=AH.精彩文案实用标准文档2、在四边形ABCD中，∠B

7、+∠D=180°，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD且上，满足EF=BE+DF.求证：例4（等腰直角三角形模型）：等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN=45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系。举一反三：1、两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并证明你的结论。2.如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P为△ABC内部一点，满足PB=PC，AP=AC。求证：BCP=15°例5

8、(双垂线模