七年级数学 14 乘法公式培优和竞赛二合一讲炼教程 人教新课标版

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1、（14）乘法公式【知识精读】1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2

2、=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a

3、6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(an－1+an－2b+an－3b2+…＋abn－2+bn－1)=an－bn　4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a

4、3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时an－bn能被a－b整除,　　　　a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。【分类解析】例1.己知x+y=axy=b求　①x2+y2　②x3+y3　　③x4+y4　④x5+y5解：　①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4)　=(x+y)［x4+y4－xy(x2+

5、y2)+x2y2］　　　　　=a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］　　　　　　＝a5－5a3b+5ab2例2.求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。证明：设这四个数分别为a,a+1,a+2,a+3　(a为整数)a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数∴a2+3a+1是整数　　　证毕例3.求证：2222＋3111能被7整除证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝41

6、11＋3111根据　a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4）　∴4111＋3111能被　4＋3整除∴2222＋3111能被7整除例4.由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律解：∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。如：152=225幂的百位上的数字2=1×2)，252=625(6=2×3)，352=1225(12=3×4)452=2025(20=4×5)……【实战模

7、拟】1．填空：①a2+b2=(a+b)2－_____②(a+b)2=(a－b)2+___③a3+b3=(a+b)3－3ab(___)　④a4+b4=(a2+b2)2－____,⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)－_____　⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)－____2．填空：①(x+y)(___________)=x4－y4　②(x－y)(__________)=x4－y4③(x+y)(___________)=x5+y5　　④（x－y）(__________)=x5－y5　3.计算：①5