中考数学圆数学思想方法聚焦

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1、【圆】数学思想方法聚焦　　一、分类讨论思想　　例1　已知两相交圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距．　　分析：已知两圆相交，求两圆圆心距。　　解：分两种情况：　　（1）如图1，设⊙O1的半径为r1=5cm，⊙O2的半径为r2=4cm．　　圆心Ol，02在公共弦的异侧．　　∵O1O2垂直平分AB，∴AD=AB=3cm．　　连O1A、O2A，则．　　．　　（cm）．　　（2）如图2，圆心Ol，02在公共弦AB的同侧，同理可求　　01D=4cm，02D=（cm）．（cm）．　　点评：①此题为基本

2、题目；②此题未给出图形，所以应分两种情况求解；若题中给出图形，按已知图形分析求解即可；若题中已知的相交两圆是等圆时，两相交等圆的圆心只能在公共弦两侧．二、方程思想　　例2　如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，弦CD，AF相交于点G，过点D作⊙O的切线交AF的延长线于M，且.　　（1）在图中找出相等的线段（直接在横线上填写，所写结论至少3组，所添辅助线段除外，不写推理过程）：　　　　　　　　.　　（2）连结AD，AF（请将图形补充完整），若，求AC∶DF的值.　　【分析】（1）利用垂径定理易知：CE=DE，而由可

3、知∠C=∠CAG.　　∴　AG=CG.　　根据相似可求得　CG·DG=AG·GF，可得DG=FG.　　（2）先根据相似求出CE，得CD，AF，又GD=GF，设EG=x，则AG可用x表示，再用Rt△AEG建立x的方程，求出x，用△AGC∽△DGF得AC与DF的比.　　解：（1）CE=DE，AG=CG，DG=FG.　　（2）连接AC.∵AB⊥CD，　　∴EC=ED，AC=AD.　　由相交弦定理，得　AE·BE=CE2.　　∴CE=3.　∴CD=AF=6.　　又∵∠GDF=∠GFD，　　∴GD=GF.　　设EG=x，则AG

4、=6-（3-x）=3+x.　　在Rt△AEG中，　　　　【小结】本题是一道垂径定理，圆周角定理，相交弦定理，切割线定理合为一体的综合题，第（1）问有开放性和探索性，第（2）问运用了方程思想，全面考查了对圆相关知识的认识.　　三、代数思想　　例3　如图所示，⊙O的直径AB⊥CD，E为OD的中点，AE交⊙O于点G，CG交OB于点F.求证：OB＝3OF.　　　　【分析】确定两条线段之间的倍数关系，一般采用寻找等分点的直接证法和借助中间量的间接证法.根据本题的已知条件，可依据三角形相似比的关系，借助系数k寻求OB、OF的关系

5、.　　证明：设半径OA＝2k，则OE=ED=k，AB=2OA=4k，OA=OC＝OB＝2k.　　连结DG、BG.　　　　四、运动的思想　　例4　已知：如图，⊿ABC的外部有一动点P（不能在直线BC上），分别连结PB、PC，试确定∠BPC与∠BAC的大小关系．　　分析：∠BPC与∠BAC之间没有联系，要确定∠BPC与∠BAC的大小关系，必须找恰当的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，通过构造⊿ABC的外接圆，问题就会迎刃而解．　　解：如图弧BAC和弧BMC是包含圆周角等于∠BAC的两段弧（∠BMC＝∠BAC），1

6、．当点P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直线BC上时，∠BPC<∠BAC；2．当点P在弧BAC和弧BMC上时，∠BPC＝∠BAC；3．当点P在弓形BAC和弓形BMC内且在⊿ABC和⊿MBC外时，∠BPC>∠BAC．　　证明：1．当点P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直线BC上时，如图１，连结BD，根据外角大于任何一个与它不相邻的内角，∠BPC<∠BDC，又∵∠BDC=∠BAC，∴∠BPC<∠BAC，（若点P在BC下侧的弓形BAC和弓形BMC外时，同法可证出∠BPC<∠BMC即∠BPC<∠BAC）；2．当点P在弧BAC

7、和弧BMC上时，如图２，根据同弧所对的圆周角相等，∠BPC＝∠BAC（若点P在弧BMC上时，同法也可证得∠BPC＝∠BMC＝∠BAC）；3．当点P在弓形BAC和弓形BMC内且在⊿ABC和⊿MBC外时，如图３，延长BP交⊿ABC外接圆于点D，连结CD，∠BPC>∠BDC，又∵∠BDC=∠BAC，∠BPC>∠BAC，（若点P在弓形BMC内且在⊿MBC外时，同法也可证出∠BPC>∠BMC即∠BPC>∠BAC）．　　五、割补思想　　　例5　如图，将半径为2cm的⊙O分割成十个区域，其中弦AB、CD关于点O对称，EF、GH关于

8、点O对称，连接PM，则图中阴影部分的面积是_____cm2（结果用π表示）．　　解析：如图，根据对称性可知：S1=S2，S3=S3，S5=S6，S7=S8，因此阴影部分的面积占整个圆面积的，应为：（cm2）．　　点评　把所求不规则图形，通过已知的分割线把原图形分割成的图形进行适当的组合，转化为可求面积的图形．分类思想在圆中的应用　　例1　已知两