小学奥数:7-7-4 容斥原理之数论问题.教师版

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1、7-7-4容斥原理之数论问题教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:表示小圆部分,表示大圆部分,表示大圆与小圆的公共部分,记为:,即阴影面积.图示如

2、下:表示小圆部分,表示大圆部分,表示大圆与小圆的公共部分,记为:,即阴影面积.1.先包含——重叠部分计算了次,多加了次;2.再排除——把多加了次的重叠部分减去. 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合的并集的元素的个数,可分以下两步进行:第一步:分别计算集合的元素个数,然后加起来,即先求(意思是把的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去(意思是“排除”了重复计算的元素个数).二、三量重叠问题类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是类、类、类的元素个数.

3、用符号表示为:.图示如下:图中小圆表示的元素的个数,中圆表示的元素的个数,大圆表示的元素的个数.1.先包含:重叠部分、、重叠了次,多加了次.2.再排除:重叠部分重叠了次,但是在进行计算时都被减掉了.3.再包含:.在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.例题精讲【例1】在的全部自然数中,不是的倍数也不是的倍数的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图,用长方形表示的全部自然数,圆表示中的倍数,圆表示中的倍数,长方形内两圆外的部分表示既不是的倍数也不是的倍数的数.由可知,中的倍数有个;由可知,中的倍数有个;由可知,既是的倍

4、数又是的倍数的数有个.由包含排除法,或的倍数有:(个).从而不是的倍数也不是的倍数的数有(个).【答案】【巩固】在自然数中,能被或中任一个整除的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】,,.根据包含排除法,能被或中任一个整除的数有(个).【答案】【巩固】在前个自然数中,能被或整除的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图所示,圆内是前个自然数中所有能被整除的数,圆内是前个自然数中所有能被整除的数,为前个自然数中既能被整除也能被整除的数.前个自然数中能被整除的数有:(个).由知,前个自然数中能被整除的数有:个.由知,前个

5、自然数中既能被整除也能被整除的数有个.所以中有个数,中有个数,中有个数.因为,都包含,根据包含排除法得到,能被或整除的数有:(个).【答案】【例1】在从1至1000的自然数中,既不能被5除尽,又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】1~1000之间,5的倍数有=200个,7的倍数有=142个,因为既是5的倍数,又是7的倍数的数一定是35的倍数,所以这样的数有=28个.所以既不能被5除尽,又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个.【答案】【巩固】求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数.【考点】容斥原理之数论

6、问题【难度】2星【题型】解答【解析】记A:1~100中3的倍数,,有33个;B:1~100中7的倍数,,有14个;:1~100中3和7的公倍数,即21的倍数,,有4个.依据公式,1~100中3的倍数或7的倍数共有个,则能被3或7整除的数的个数为43个.【答案】【例2】以105为分母的最简真分数共有多少个?它们的和为多少?【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】以105为分母的最简真分数的分子与105互质,105=3×5×7,所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个,3的倍数有35个,5的倍数有21个,7的倍数有15个,15的倍数有7个,21的倍数有5个,

7、35的倍数有3个,105的倍数有1个,所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个,显然如果n与105互质,那么(105-n)与n互质,所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1,所以它们的和为24.【答案】个,和【巩固】分母是385的最简真分数有多少个?并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题【难度】4星【题型】解答【解析】385=5×7×11,不超过385的正整数中被5整除的数有77个;被7整除的数有55个;被1

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