小学奥数:7-7-5 容斥原理之最值问题.学生版

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1、7-7-5.容斥原理之最值问题教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:表示小圆部分,表示大圆部分,表示大圆与小圆的公共部分,记为:,即阴影

2、面积.图示如下:表示小圆部分,表示大圆部分,表示大圆与小圆的公共部分,记为:,即阴影面积.1.先包含——重叠部分计算了次,多加了次;2.再排除——把多加了次的重叠部分减去. 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合的并集的元素的个数,可分以下两步进行:第一步:分别计算集合的元素个数,然后加起来,即先求(意思是把的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去(意思是“排除”了重复计算的元素个数).二、三量重叠问题类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是

3、类、类、类的元素个数.用符号表示为:.图示如下:图中小圆表示的元素的个数,中圆表示的元素的个数,大圆表示的元素的个数.1.先包含:重叠部分、、重叠了次,多加了次.2.再排除:重叠部分重叠了次,但是在进行计算时都被减掉了.3.再包含:.在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考.例题精讲【例1】“走美”主试委员会为三~八年级准备决赛试题。每个年级道题,并且至少有道题与其他各年级都不同。如果每道题出现在不同年级,最多只能出现次。本届活动至少要准备道决赛试题。【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯,4年级,决赛,第9题【解析

4、】每个年级都有自己道题目,然后可以三至五年级共用道题目,六到八年级共用道题目,总共有(道)题目。【答案】题【例2】将1~13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中,然后把每个圆内的7个数相加,最后把四个圆的和相加,问:和最大是多少?【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】越是中间,被重复计算的越多,最中心的区域被重复计算四次,将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中,最大和为:13×4+(12+11+10+9)×3+(8+7+6+5)×2+(4+3+2+1)=240.【答案】【例3】如图,5条同样长的线段拼成了一个五角

5、星.如果每条线段上恰有1994个点被染成红色,那么在这个五角星上红色点最少有多少个?【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】如下图,下图中“”位置均有两条线段通过,也就是交点,如果这些交点所对应的线段都在“”位置恰有红色点,那么在五角星上重叠的红色点最多,所以此时显现的红色点最少,有1994×5-(2-1)×10=9960个.【答案】【例1】某班共有学生48人,其中27人会游泳,33人会骑自行车,40人会打乒乓球.那么,这个班至少有多少学生这三项运动都会?【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】(法1)首先看至少有多少人会游泳、自行车两

6、项,由于会游泳的有27人,会骑自行车的有33人,而总人数为48人,在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下,两项都会的学生至少有人,再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数,至少有人.    该情况可以用线段图来构造和示意:        (法2)设三项运动都会的人有人,只会两项的有人,只会一项的有人,    那么根据在统计中会项运动的学生被统计次的规律有以下等式:        由第一条方程可得到,将其代入第二条式子得到:    ,即①    而第二条式子还能得到式子,即②    联立①和②得到,即.可行情况构造同上.【答案】【巩固】某班有名学生,参加语文竞赛的有人,

7、参加数学竞赛的有人,参加英语竞赛的有人,每人最多参加两科,那么参加两科的最多有人.【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知,该班参加竞赛的共有人次.由于每人最多参加两科,也就是说有参加2科的,有参加1科的,也有不参加的,共是71人次.要求参加两科的人数最多,则让这人次尽可能多地重复,而,所以至多有人参加两科,此时还有1人参加1科.那么是否存在35人参加两科的情况呢?由于此时还有1人是只参加一科的,假设这个人只参加数学一科,那么可知此时参加语文、数学两科的共有人,参加语文、英语两科的共有人,参加数学

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