高三数学春季入学测试卷及答案

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1、中小学个性化辅导高三数学入学测试卷测试时间：40分钟分值：100分学校姓名一、选择题（每题4分，共20分）1.已知a，bR，i是虚数单位，若a＋bi与2－i互为共轭复数，则（a＋bi）2＝（　　）　A.5－4i　　　　　　B.5＋4i　　　　　C.3－4i　　　　　　D.3＋4i　答案：DA.B.C.D.答案：C（）A.B.C.D.答案：C4.已知数列为等比数列，且，则的值为（）A．B．C．D．答案：A，因为数列是等比数列，所以．5.若函数（）满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点的个数为（）A．B．C．D．答案：B分别作出函数

2、与的图象，由图象可知函数在区间内的零点的个数为8个..8中小学个性化辅导二、填空题（每题4分，共16分）答案：-3答案：（1,1）8.若不等式恒成立，则实数的取值范围为．答案．9.现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张．从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张．不同取法的种数为．答案．472三、解答题（本大题有5题，其中第10题12分、第11题12分、第12题12分、第13题14分，第14题14分，共64分，解答应写出文字说明或演算步骤）10.（本题满分12分）已知函数，．求的值；若，，求的值．解：（1

3、）由已知得………4分（2）因为，又，故，即…………………6分又，故…………8分所以，…………………10分所以8中小学个性化辅导…………12分11.（本题满分12分）如图，三棱柱中，，，．证明：；若，，求二面角的余弦值．解．（1）证明：取的中点，连接，，。，故，………………1分又，，为等边三角形．，………………………3分又因为平面，平面，．平面．……………………5分又平面，因此．.……………………6分（2）方法一：解：过点作，垂足，连接.在等边中，在等边中．在中．是直角三角形，且，故………………8分8中小学个性化辅导、平面，．平面.又平

4、面，故．、平面，，故平面．因为平面，所以．所以是二面角的平面角……………………10分在中，．在中，．．所以二面角的余弦值………………12分方法二：解：在等边中，在等边中．在中．是直角三角形，且，故．……………8分分别以，，为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，由已知得，，，.设为平面的法向量，则，，，，8中小学个性化辅导又，，.取，则，，故．…………………11分又是平面的法向量，二面角的大小等于或其补角．．依图知二面角的余弦值为………………………12分12.（本题满分12分）设数列的前项和为，且满足,．（1）求；（2）数列的通项公式；（

5、3）设,求证：．解.证明：（1）∵∴……………2分（2）∵……①∴当时，……②（没有n≥2扣1分）∴①-②得,………………4分∵,∴………5分（没有验证n=1成立扣1分）是首项为2，公比为的等比数列，………6分(3)∵∴………8分（或者由公式计算得，公式对的1分，化简对得1分）………10分8中小学个性化辅导(说明：也可以)∴………………12分13.（本题满分14分）已知双曲线的焦点为（0,-2）和（0,2）,离心率为，过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点（A、B在轴的上方）.（1）求双曲线的标准方程；（2）探究是否为

6、定值，若是求出该定值，若不是定值说明理由.解：（1）依题意可设双曲线的标准方程为(）………1分∵c=2，………2分………3分∴………4分∴双曲线的标准方程为.………5分（2）是定值2，理由如下：………6分设直线AB：（没有b>0，不得分这1分）………7分由得………8分解得………9分设双曲线渐近线方程：与联立，………10分得，…11分8中小学个性化辅导，………12分=3………13分∴==2………14分（没有导致情况多种的扣2分）14.（本题满分14分）已知函数，（）．若，求函数的极值；设函数，求函数的单调区间；若在（）上存在一点，使得成

7、立，求的取值范围．解：（1）的定义域为．…………………1分当时，，．………………2分由，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时，函数取得极小值，极小值为；……4分（2），其定义域为．又．…………5分①当，即时，在上，所以，函数在上单调递增.…………6分②当，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；…………………7分综上所述：当时，的递减区间为；递增区间为．8中小学个性化辅导当时，只有递增区间为．…………………………….8分（3）若在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得．则函数在上的最小值小于零．………………

8、…9分①当，即时，由（2）可知在上单调递减．故在上的最小值为，由，可得．因为．所以；…………………………………10分②当，即时，由（2）可知在上单调递增．故在上最小值为，由，可得（满足）；………………………………11分③