弧度制及任意角的三角函数

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1、第1讲　任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲　1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识梳理1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β

2、β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数

3、公式

4、α

5、＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝rad　②1rad＝°弧长公式弧长l＝

6、α

7、r扇形面积公式S＝lr＝

8、α

9、r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosα叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线诊断自测　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于9

10、0°的角是锐角．(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×)(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(×)(4)若α∈，则tanα＞α＞sinα.(√)(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(×)2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋(k∈Z)解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．答案　C3．(2014·新课标全国Ⅰ

11、卷)若tanα＞0，则(　　)A．sin2α＞0B．cosα＞0C．sinα＞0D．cos2α＞0解析　由tanα＞0可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sinα与cosα同号，故sin2α＝2sinαcosα＞0，故选A.答案　A4．(2014·大纲全国卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝(　　)A.B.C．－D．－解析　由三角函数的定义知cosα＝＝－.故选D.答案　D5．(人教A必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．答案　考点一　象限角与三角函数值

12、的符号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例1】(1)若角α是第二象限角，则是(　　)A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角(2)若sinα·tanα＜0，且＜0，则角α是(　　)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角深度思考　象限角的判定有两种方法，请你阅读规律方法，其中角的判断结论为：解析　(1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．(2)由sinα·tanα＜0可

13、知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限的角，由＜0，可知cosα，tanα异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案　(1)C　(2)C规律方法　(1)已知θ所在的象限，求或nθ(n∈N*)所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式(含有k)表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限．(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α

14、终边所在的象限来判断此角是第几象限角．(3)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解．【训练1】(1)设θ是第三象限角，且＝－cos，则是(　　)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(2)sin2·cos3·tan4的值(　　)A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在解析　(1)由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，∵＝－cos，∴cos≤0，综上知为第二象限角．(2)∵sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，∴sin2·cos3·ta

15、n4＜0.答案　(1)B　(2)A考点二　三角函数的定义　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例2】(1)(2014·宁波高三考试)已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－，试求m的值．解　(