八年级竞赛例题专题讲解3：和差化积--因式分解的方法(1).doc

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1、专题3和差化积----因式分解的方法（1）阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法：1．换元法：对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等．2．拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与

2、添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．例题与求解【例l】分解因式___________．（浙江省中考题）解题思路：把看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．【例2】观察下列因式分解的过程：（1）；原式＝；（2）．原式＝．第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：（1）；（西宁市中考试题）（2）．（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．【例3】分解因式（

3、1）；（重庆市竞赛题）（2）；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）．（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中、反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．【例4】把多项式因式分解后，正确的结果是（）．A．B．C．D．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式：（1）；（扬州市竞赛题）（2）；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）．解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．【例6

4、】分解因式：．（河南省竞赛试题）解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．能力训练　　　　A　级1．分解因式：（1）＝___________________________．（泰安市中考试题）（2）＝__________________________．（威海市中考试题）2．分解因式：（1）＝_________________________；（2）＝_____________________________．3．分解因式：＝____________________________．4．多项式与多项式的公因式是____________________．5．在1~100之间若存在整

5、数，使能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的有_______个．6．将多项式分解因式的积，结果是（）．A．B．C．D．7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．A．B．C．D．（“希望杯”邀请赛试题）8．把分解因式，其中一个因式是（）．A．B．C．D．9．多项式有因式（）．A．B．C．D．（“五羊杯”竞赛试题）10．已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）．A．一定是奇数B．一定是偶数C．可为奇数也可为偶数D．一定是负数11．分解因式：（1）；（2）；（3）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）；（重庆市竞赛试题）（5）；（6）．12．先化简，在求值：，其中

6、，．B　级1．分解因式：＝_______________．（重庆市竞赛试题）2．分解因式：＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．分解因式：＝_________________________．（“希望杯”邀请赛试题）4．分解因式：＝______________________．（“五羊杯”竞赛试题）5．将因式分解得（）．A．B．C．D．（陕西省竞赛试题）6．已知是△ABC三边的长，且满足，则此三角形是（）．A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．不能确定7．的因式是（）．A．B．C．D．E.（美国犹他州竞赛试题）8．分解因式：（1）；（湖北省黄冈市竞赛试题）

7、（2）；（江苏省竞赛试题）（3）；（陕西省中考试题）（4）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（5）；（“五羊杯”竞赛试题）（6）．（太原市竞赛试题）9．已知乘法公式：利用或者不利用上述公式，分解因式：．（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．分解因式：（1）；（2）；（3）．11．对方程，求出至少一组正整数解．（莫斯科市竞赛试题）12．已知在△ABC中，，求证：．（天津市竞赛试题）