初 三 数 学（第6讲）复习与测试（第22章 一元二次方程）.doc

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1、初三数学（第6讲）主讲教师：谢潮（苏州立达中学）一、本讲内容复习与测试（第22章一元二次方程）二、重点讲解知识点回顾：1.一元二次方程的四种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 2.根的判别式：关于x的一元二次方程当时，方程有两个不相等的实根当时，方程有两个相等的实根当时，方程无实根 3.根与系数关系关于x的一元二次方程当 三、典型例题例1.用适当的方法解下列一元二次方程。（1）解：或（2）解：（3）解：（4）解：9（5）（注：用配方法）解：注：用配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。（3）方程两边都加上一次项系

2、数的一半的平方（4）原方程变为的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。 例2.已知方程的两根的平方和为11，求k的值。解：设方程的两根为则有∴当。∴注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。 9例3.若方程的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，，求出m的取值范围，再用S的代数式表示m，借助m的取值范围就可求出S的取值范围。解：设方程的两个实根为∵方程有两个实根。 例4.已知关于x的一元二次方程（1）k取什么值时，方程有两个实数根。（2）如果方程的两个实数根满足，求k的值。解：（1）解得时，方程有两

3、个实数根（2）∵，分两种情况①当，∴方程有两个相等的实数根。②当由根与系数关系，得∴ 例5.某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为200kg，出油率为50%（即每100kg花生可加工成花生油50kg），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg9，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的，求：新品种花生亩产量的增长率。解：设新品种花生亩产量的增长率为x，则有解得（不合题意，舍去）答：新品种花生亩产量的增长率是20%。注：对于增长率问题，解这类问题的公式是，其中，a是原来的量，x是平均增长率，n是增长的次数，b为增长的量。 例6.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20

4、件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？解：（1）设每件衬衫应降价x元，则有解得根据题意，取x=20，∴每件衬衫应降低20元。（2）商场每天赢利当时，商场赢利最多，共1250元∴每件衬衫降价15元时，商场平均每天获利最多。 例7.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且，若关于x的方程有两个相等的实数根，方程的两实数根的平方和为6，求：△ABC的面积。分析

5、：这是一个一元二次方程和解直角三角形的综合题，由方程有两个相等的实根及，易证△ABC为直角三角形，在方程中，由根与系数关系和已知的两实根平方和为6，可求sinA的值，再由三角函数定义和勾股定理可求出a，b，则。解：∵方程有两个相等实数根9设的两实数根，则解得在Rt△ABC中∴ 例8.已知关于x的一元二次方程的两个实数根之差的平方为m（1）试分别判断当时，是否成立，并说明理由；（2）若对于任意一个非零的实数a，总成立，求实数c及m的值。解：（1）原方程化为∴即成立当时，原方程化为由，可设方程的两根分别为则∴即不成立（2）设原方程两个实数根是则∵对于任意一个非零的实数a，都有 例9.已知关于x

6、的方程①9（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。（2）如果a是关于y的方程②的根，其中为方程①的两个实数根。求：代数式的值。分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程②化成，再利用根的定义得到，将代数式化简后，把整体代入即可求出代数式的值。（1）证明：∵∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。（2）解：∵是方程①的两个实数根∴方程②∵a是方程②的根，∴注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。 单元测试题一、选择题（每题4分，共32分）1、关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（）A、B、C、或D、2、关于

7、的方程的根的情况是（）A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、无实数根D、不能确定3、如果关于的方程的两个实数根互为倒数，那么的值为（）A、B、C、D、94、已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（）A、B、C、D、5、市政府为了申办2010年冬奥会决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均绿地面积的增长率是（）A、19%B、20%C、21%D、22%6、已知一个直角三角形的两