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1、勾股定理单元检测试题邮编：518052地址：深圳市南山区常兴南路荔香中学数学组作者：钟国雄（中国数学奥林匹克一级教练，中学高级教师）电话：0755-2101752013699770520一、选择题（每题3分,共18分）1.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）（A）（B）（C）（D）解：因为，故选（C）2．在一个直角三角形中，若斜边的长是，一条直角边的长为，那么这个直角三角形的面积是（）（A）（B）（C）（D）解：由勾股定理知，另一条直角边的长为，所以这个直角三角形
2、的面积为.3．如图1,一架2.5米长的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时梯足到墙底端的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移()(A)0.6米(B)0.7米(C)0.8米(D)0.9米解:依题设.在中,由勾股定理,得图1由,得.在中,由勾股定理,得所以故选(C)4．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（）（A）132（B）121（C）120（D）以上答案都不对解：设直角三角形的斜边长为,另外一条直角边长为,则.由勾股定理,得.因为都是自然数，则
3、有.所以.因此直角三角形的周长为121+11=132.故选（A）5．直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（）（A）（B）（C）（D）解:设两直角边分别为,斜边为,则,.由勾股定理,得.所以.所以.所以.故选（C）6.直角三角形的三边是,并且都是正整数,则三角形其中一边的长可能是()（A）61（B）71（C）81（D）91解:因为.根据题意,有.图2整理,得.所以.所以.即该直角三角形的三边长是.因为只有81是3的倍数.故选（C）二、填空题（每题3分,共24分）7.如图2，以三
4、角形的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____.解:根据题意，有，即.整理,得.故此三角形为直角三角形.8.在中,,则边的长为______.解：本题在中，没有指明哪一个角为直角，故分情况讨论：当为直角时,为斜边，由勾股定理,得，∴；当不为直角时,是直角边，为斜边，由勾股定理，得，图3∴因此,本题答案为4或.9.如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____
5、米.解：由勾股定理，知最短距离为.图410.如图4，已知中，，以的各边为边在外作三个正方形，分别表示这三个正方形的面积，，则解：由勾股定理，知，即，所以．图511．如图5,已知，中，，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长，则斜边之长为______.解：、是中线，设，由已知，，所以两式相加，得，所以图612.如图6，在长方形中，,在上存在一点,沿直线把折叠，使点恰好落在边上，设此点为，若的面积为,那么折叠的面积为_____.解:由折叠的对称性,得.由,得.在中,由勾股定理,得.所以.设,则.在中
6、,,即.解得.故.13.如图7，已知：中，，这边上的中线长，，则为_____.解:因为为中线，所以,于是.图7但,故,即.又,两边平方,得.而由勾股定理,得.所以.故.即.14．在中,,边上有2006个不同的点,记,则=_____.解:如图8,作于,因为,则.图8由勾股定理,得.所以.所以.因此.三、解答题（每题10分,共40分）15．如图9，一块长方体砖宽，长，上的点距地面的高，地面上处的一只蚂蚁到处吃食，需要爬行的最短路径是多少？【解】如图9，在砖的侧面展开图10上，连结，则的长即为处到处的
7、最短路程．在中，因为，，所以．所以．因此蚂蚁爬行的最短路径为． 图10 图9 16．如图11所示的一块地，，，，，，求这块地的面积．解：连结，在中，由勾股定理，得，即，所以．在中，由，即．所以为直角三角形，．所以．所以这块地的面积为．图1117．如图12所示，在中,,且,,求的长.图12答图13解:如图13,因为为等腰直角三角形,所以.所以把绕点旋转到,则.所以.连结.所以为直角三角形.由勾股定理,得.所以.因为所以.所以.所以.18．中，，若，如图14，根据勾股
8、定理，则，若不是直角三角形，如图15和图16，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论。图14图15图16解：若是锐角三角形，则有若是钝角三角形，为钝角，则有当是锐角三角形时，如图17,证明：过点作，垂足为设为，则有，图17根据勾股定理，得即∴∵，∴∴当是钝角三角形时，图18,图18证明：过点作，交的延长线于点设为，则有根据勾股定理，得即∴∵，∴∴
