多边形的内角和1.doc

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1、多边形的内角和河南省上蔡县黄埠一中周冠华教学目的1．使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。2．使学生通过不同方法探索多边形的内角和公式，并会利用它进行有关计算。重点、难点1．重点：多边形的内角和定理。2．难点：多边形的内角和定理的推导。教学过程一、复习提问1．什么叫三角形?2．三角形的内角和是多少?3．什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少?二、新授1．多边形的概念，三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。你能说出什么叫四边形、五边形吗?如图(1)它是由不在同一直线上

2、的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写)7DDCACEABB图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE。一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。下面所示的图形也是多边形，但不在我们现在研究的范围内。注意我们现在研究的是如右图所示的多边形，也就是所谓的凸多边形有什么不同？凹多边形凸多边形与三角形类似如图，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，延长AB、CB得四边形ABCD的两个外角∠CBE和∠7ABF，这两个外角是对顶角。一个n边形有n个内角，有

3、2n个外角。如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，线段AC是四边形ABCD的对角线，如图2，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。问：(1)四边形有几条对角线?(两条AC、BD)　(2)五边形有几条对角线?以A为端点的对角线有两条AC、AD，同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。所以只有5条。(3)六边形有几条

4、对角线?n边形呢?六边形有9条对角线。从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，(除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么n个顶点，就有n(n-3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，所以n边形一共有条对角线。大家可以加以验证：当n=3时，没有对角线，当n=4时，有2条；当n=5时，有5条：当n=6时，有9条…7，因此，我们可以得到多边形的对角线的条数的计算公式：2．多边形的内角和公式。三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180°，那么一般n边形是否也有内角和公式呢?让我们先从四边形，正边形，六边形……开始。从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成2

5、个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中3个三角表内角和的和。让学生填写表,由此，你可以得到”边形的内角和公式吗?n边形的内角和＝(n-2)·180°知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数n。知道多边形的边数,可以求出多边形的度数例1.求八边形的内角和的度数。分析:n边形的内角和公式为(n-2)180°,现在知道这个多边形的边数是，代入这个公式既可求出.解　（n－2）×180°=（8－2）×180°=1080°例2.已知多边形的内角和的度数为900°，则这个多边形的边数为________解　（n－2）×180°=900°（n－2）=900°/180°

6、（n－2）=5n=5+2n=77例3.已知在一个十边形中，九个内角的和的度数是1290°，求这个十边形的另一个内角的度数.分析：先求出十边形的内角和，再减去1290°,就可以得出.解:（10－2）×180°=1440°则十边形的另一个内角的度数为1440°-1290°=150那么对于正多边形来说,又遇到怎样的问题呢?因为正多边形的每个角相等,所以知道正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数（n－2）×180°/n例4.正五边形的每一个内角等于_____.解:（n－2）×180°/n=（5－2）×180°/5=540°/5=108°例5.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个多边形的

7、边数是_____解:120°n=（n－2）×180°120°n=n×180°-360°60°n=360°7n=6多边形的内角和等于(n-2)·180°，还可以用以下的划分来说明，即在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得几个三角形?这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系?请你试一试。对有困难的学生教师可以加以引导。如图(教科书图9.2.5)每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此