苏州市2017年中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导.doc

《苏州市2017年中考《坐标系中三角形周长最小值问题》复习指导.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、利“刃”在手亿“折”成“直”—例析坐标系中三角形周长最小值问题在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考.1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点例1(2015年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点、间的一个动点(含端点)，过点作于点.点、的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接.是否存在点，使的周长最小?若存在，求出点的坐标;若

2、不存在，请说明理由.分析存在.理由:易求抛物线的解析式为.设，则，故,的周长=.如图2，过点作于点.当三点共线，即点为与抛物线的交点时，的值最小，此时，所以周长最小时点的坐标为(-4,6).点评本例三角形的三个顶点中，点为动点，点均为定点.由于的长为定值，欲使的周长最小，只需满足的值最小即可.进而利用“点运动的过程中，与的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外一定点的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点的位置.例2(2012年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两

3、点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点.请在直线上找一点，使的周长最小，求出点的坐标.分析易知，故，直线的解析式为.如图4，作点关于直线的对称点，连接,交于点，则即为符合题意的周长最小的三角形.(证明如下:不妨在直线上取异于点的任一点，连接.由对称性可知:，于是的周长=的周长=.而在中，，即，所以的周长大于的周长.)若交于点，则.过点作轴于点，则，，故,易求直线的解析式为.联立解方程组，得，所以点的坐标为.点评本例三角形的三个顶点中，点为动点，点、均为定点，且均位于动点所在直线的同一侧.通过寻找定点关于动点所在直线的对称点,将问题转化为“求定直线上一动点与直线异

4、侧两定点,的距离和的最小值”，从而可利用“三角形任意两边之和大于第三边”加似解决(当、、三点共线，即点为直线与直线的交点时，的值最小，此时的周长最小).2.三角形的三个顶点中有两个顶点是动点例3(2013年湖南张家界，有改动)如图5，抛物线过点，顶点为，点在轴正半轴上，且.将直线绕点逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点，若点是线段上的动点，点是线段上的动点，问:在点和点移动过程中，的周长是否存在最小值?若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.分析存在.理由:如图6，分别作点关于直线轴的对称点，连接，交于点，交于点，则即为符合题意的周长最小的

5、三角形，此时的周长等于线段的长.(证明如下:不妨在线段上取异于点的任一点，在线段上取异于点的任一点，连接.由轴对称的性质可知的周长=，而的值为折线段的长，由两点之间线段最短可知，即的周长大于的周长.)如图6，过点作轴于点，过点作轴于点，则，可得，即.所以.在Rt中，.所以，在点和点移动过程中，的周长存在最小值，最小值为.点评本例三角形的三个顶点中，点为定点，点、均为动点，且分别在定直线、上，通过寻找定点关于两个动点所在直线的对称点、，就得到由三条与三边分别相等的线段组成的折线，然后借助“两点之间线段最短”化“折”成“直”(当、、、四点共线，即点、分别为直线、

6、与直线的交点时，的周长最小).3.三角形的三个顶点都是动点例4(2015年辽宁沈阳，有改动)如图7，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点(点在点的左侧)，与轴交于点.若点是线段上的动点(点不与点、重合)，点是线段上的动点(点不与点、重合)点是线段上的动点(点不与点、重合)，请直接写出周长的最小值.分析易求，故.如图8，过点作于点，则.如图9，分别作点关于直线的对称点，连接，交于点，交于点，则是过点的的内接三角形中周长最小的三角形，且的周长等于线段的长.若交于点交于点，连接，则，故.连接，取的中点，连接，则，所以⊙为的外接圆，且点在⊙上.延长交⊙于点，连接

7、，则，所以的周长.如图10，当点与点重合时，的周长最小，最小值为.点评本例三角形的三个顶点均为动点，应采取“以退为进”的策略，即:先假设点的位置已经确定(即视点为一定点)，容易得出结论:待求三角形周长最小时，其周长等于线段的长，然后继续探究点的位置后，发现线段长度的最小值即为点到轴的距离.因为，所以为等腰三角形，且其顶角为定值.由于本例对解答过程不作要求，也可以根据“顶角为定值的等腰三角形底边长的最小值由腰长的最小值来确定”这一经验来判定点的位置.然而，对该例的思考却不止于此，我们还可以再进一步探索和和的位置关系.参考本例分析问题的方法，我们可以得出这样的结

8、论:为锐角三角形的三条高，以三个垂足为顶点的三角形即