关于五枚硬币两两相交问题的一个解释.doc

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1、关于五枚硬币的两两相交问题的一个数学解释(两两相交即五枚硬币的任两枚硬币均相交)董岩解:拼接成的图形为一个空间立体图形,我们是先保证1号硬币、2号硬币和3号硬币两两相交且4号硬币和5号硬币都各与1号硬币、2号硬币和3号硬币相交的情况下,这是很容易实现的,我们要做的就是判断4号硬币和5号硬币是否相交。若能相交,即断定为成功(这里的“成功”是指五枚硬币可以组成硬币两两相交的空间图形)。5号硬币4号硬币关于1号硬币对称的2号、3号硬币1号硬币主视图:1号硬币2号硬币3号硬币左视图:以上对硬币进行编号,可以使能联想到的立体图形更加形象化。对于左视图,未画出4号

2、硬币和5号硬币,是为了说明图形更加方便。设硬币的直径为D,厚度为d;根据左视图:FGCHEDAB图中A、B两点分别为3号硬币和2号硬币的圆心,C点为1号硬币和3号硬币在左视图上的交点。CD垂直于AB,CH垂直于AG。易知AE=AC=,DE=,所以AD=AE—DE=—=,根据勾股定理,有CD===CF=DF-CD=AG-CD=GH=CF=.根据主视图:OP交叉宽度=GHMN如果我们在最劣情况下建立一个模型,即让4号硬币和5号硬币对称放置,这是在成功概率最小情况下建立的模型。这是我们对模型的第一次劣化。如果我们假定关于1号硬币对称的2号硬币和3号硬币图1图

3、2的下端处为平的,显然,在我们向成功逼近时,即保证4号硬币和5号硬币可以相交时,在图2情况可以成功时,在图1情况下也能保证成功。这是对模型的第二次劣化。(这里的劣化是指向模型成功概率减小的方向而建立一系列的模型,如果最劣化的模型成立,则原模型必然成立。)对于三角形OPN,必有,OP+PN>ONPO即代入GH得N又由正弦定理得易知当任一角在区间和之间时,随着角的增加,其正弦值也随之增加,故有<0即当M点和N点重合时,在三角形OPM中,也有也有当成立时,必有成立。故只需让成立,这样做是为了减少未知量数目,因为ON=,而OM,很明显这样做很方便化简。对于即化

4、简得解得即在厚径比(硬币的厚度和直径之比)在(0.0284,0.2)内时,可近似认为成功,也就是五枚硬币可两两相交。【(*^__^*)嘻嘻……,一元硬币我验证过了,虽然没有用尺子精确测量,但是我发现13枚硬币的厚度和与硬币的直径近似相等,故一元硬币的厚径比,在区间内。】

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