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1、关于低阶群嵌入置换群的一些讨论张通(华东师范大学数学系)指导教师:林磊(华东师范大学数学系)摘要本文主要讨论了阶到阶的每一个群到置换群的最小嵌入的过程及方法,并且最终得到了所有的结果.关键字低阶群,最小嵌入,置换群.假设是个有限群,根据凯莱定理,每一个群都同构于一个变换群.文中,表示是的子群;表示次置换群;min;,即中元素,的换位子;表示模剩余类加群,它是个阶循环群;如果是群的子集,记为中由所生成的子群.一交换群首先,我们先对交换群来确定的值.我们有如下定理:定理一(有限交换群结构定理)有限交换群可以分解为一些阶等于素数幂的循环群的直积,且这样的分解方法是唯一的.
2、(定理及证明均见参考文献[1]).有了定理一的保证,我们就可以证明本节的重要定理:定理二如果有限交换群可以分解为,其中为素数的方幂,则.证令,考虑的一个子群,其中为阶的轮换,而且两两不相交.构造映射:,,可以验证是同构映射,所以.这样,就有成立.定理三,其中为素数.证由定理二,可知;而中不存在阶元,所以结论成立.显然,,,.接下来,我们将对所有从阶到阶的交换群进行讨论:1.1阶交换群阶的交换群只有循环群:由定理三,.1.2阶交换群阶的交换群只有循环群:由定理二,.而中没有阶元,所以.1.3阶交换群阶的交换群只有循环群:由定理三,.1.4阶交换群阶的交换群共有如下三种
3、:是循环群,由定理三,.由定理二,可以嵌到中,若,则只可能为或.由Sylow第三定理(见参考文献[2]),在同构的意义下,中只有一类阶群,即Sylow子群,是非交换群.所以,不可以嵌到中.同理,中的阶群是它的Sylow子群,且,则中的阶群都与同构,故也不可以嵌到中.所以.也不与同构,类似地可以得到.1.5阶交换群阶的交换群有如下两种:由定理三,可知.,.若可以嵌到中,设其对应的一个生成元为,而与可交换的阶元只有和,矛盾.所以.1.6阶交换群阶的交换群只有循环群:,.而在中,最大阶数的元只为阶元,所以.1.7阶交换群阶的交换群只有循环群:由定理三,.1.8阶交换群阶的
4、交换群有两种:,故.而在中,最大阶数的元只为阶元,所以..若不然,则可以嵌到中,不论其对应的阶生成元是一个轮换还是两个不相交的轮换的乘积,都没有与之可以交换的阶元.事实上,若是一个轮换,设,则与可交换的元或者是由集合中的元素构成的轮换,或者是由集合中的元素构成的轮换与或的乘积,这样的元素阶数只可能是,,;若是两个不相交的轮换的乘积,不妨设,则与可交换的元素如下:,,,,,,,,,,,.其中也没有阶元.1.9阶交换群阶的交换群只有循环群:由定理三,.1.10阶交换群阶的交换群只有循环群:,故.若可以嵌到中,则中存在阶元,假设为不相交的轮换的乘积,则这些轮换阶数的最小公
5、倍数是,所以一定存在一个阶和阶的不相交轮换.所以.故.1.11阶交换群阶的交换群只有循环群:,类似的证明,可得.1.12阶交换群阶的交换群有如下种:由定理三,.,故,若可以嵌到中,则中存在阶元,而且只可能为一个阶轮换.而与可以交换阶元的只有,矛盾.所以.对于,,,它们都可以嵌到中.注意到中在同构意义下只有一类阶群,即Sylow子群,它为非交换群(见参考文献[3]),其余的都不可以嵌到中.而中Sylow子群阶数为,与中的Sylow子群阶数相同,所以中的Sylow子群就是中的Sylow子群,又中所有Sylow子群共轭,而,所以中的阶群都与同构,所以.1.13阶交换群阶的
6、交换群只有循环群:由定理三,.1.14阶交换群阶的交换群有如下两种:类似于的证明,不难得到.,所以.注意到,而,故只可以为,或.若,其对应的阶生成元可以为一个轮换和一个不相交的轮换的积,或者是一个轮换:若是前者,可设,则与之交换的阶元只可能为或,矛盾;若是后者,可设,则与之交换的阶元只可能为或,矛盾.类似地,可得到.事实上,若,其对应的阶生成元共有三种情况:一个轮换和一个不相交的轮换的积,一个轮换,一个轮换和两个不相交的轮换的积.前两种情况证明与上面类似,若是一个轮换和两个不相交的轮换的积,设,则与之交换的阶元只可能为或,矛盾.所以.1.15阶交换群阶的交换群只有循
7、环群:由定理三,.1.16阶交换群阶的交换群共有两种:,类似的证明,有.,所以.若可以嵌到中,设其对应的阶生成元为,则与可交换的阶元只有,矛盾.所以.这样,我们就得到了所有交换群的结论.二非交换群关于一些特殊非交换群,我们也有一些结论:定理四如果为奇数,可以嵌到中.证令,,则,生成的群与是同构的,结论成立.定理五如果为奇数,设,则可以嵌到中,其中.证.事实上,.构造映射:.其中,当时,,;当时,,.容易验证,是同构映射.且由定理四知,可以嵌到中,所以可以嵌到中.基于定理四,定理五和一些分析,我们来讨论非交换群的情况:2.1阶非交换群阶的非交换群只有一种:,所以.
