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1、2015-2016学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中考试（理）一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合A=xx<3，B=xx−2≤0，那么集合A∪B= A.−∞,3B.−∞,3C.2,3D.−3,22.已知不共线的向量a，b，∣a∣=2，∣b∣=3，a⋅b−a=1，则∣a−b∣= A.3B.22C.7D.233.等差数列an中，3a3+a5+2a7+a10+a13=24，则这个数列的前13项和为 A.13B.26C.52D.1564.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得
2、该几何体的体积是 A.133πB.7πC.11πD.12π5.将函数fx=sinωxω>0的图象向右平移π4个单位长度，所得图象关于点3π4,0对称，则ω的最小值是 A.13B.1C.53D.26.设tanπ+α=2，则sinα−π+cosπ−αsinα+π−cosπ−α= A.13B.1C.3D.−17.设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1，S3=7，则S5= A.152B.314C.334D.1728.定义在R上的奇函数fx满足fx+3=−fx，且f1=2，则f20
3、13+f2015= A.−2B.0C.2D.49.已知函数fx=3sinx−πx，命题p:∀x∈0,π2,fx<0，则 A.p是真命题，¬p:∃x0∈0,π2,fx0≥0B.p是真命题，¬p:∀x∈0,π2,fx>0第10页（共10页）C.p是假命题，¬p:∀x∈0,π2,fx≥0D.p是假命题，¬p:∃x0∈0,π2,fx0≥010.已知函数fx=1−2ax+3a,x<1lnx,x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是 A.−∞,−1B.−1,12C.−1,12D.0,1211.在△ABC中，角A
4、,B,C的对边分别是a,b,c，若c−acosB=2a−bcosA，则△ABC的形状是 A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形12.已知函数fx=x+xlnx，若k∈Z，且kx−22恒成立，则k的最大值为 A.3B.4C.5D.6二、填空题（共4小题；共20分）13.等差数列an中，a1+a2=2,a3+a4=4，则a5+a6= ．14.设α为锐角，若cosα+π6=35，则sinα−π12= ．15.已知向量OA=2,2，OB=4,1，在x轴上存在一点
5、P使AP⋅BP有最小值，则点P的坐标是 ．16.在平面直角坐标系xOy中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．已知点Px,y是角θ终边上一点，∣OP∣=r，定义fθ=x−yr．对于下列说法：①函数fθ的值域是−2,2；②函数fθ的图象关于原点对称；③函数fθ的图象关于直线x=3π4对称；④函数fθ是周期函数，其最小正周期为2π；⑤函数的单调递减区间是2kπ−3π4,2kπ+π4,k∈Z其中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题（共8小题；共104分）17.已知数列an的前
6、n项和为Sn，且a1=10，an+1=9Sn+10．（1）求证：lgan是等差数列；（2）设bn=2lganlgan+1，求数列bn的前n项和Tn．18.已知向量m=2cos2x,3，n=1,sin2x，函数fx=m⋅n．（1）求函数fx的图象的对称中心和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且fC=3，c=1，ab=23，且a>b，求a，b的值．19.四棱锥P−ABCD中，直角梯形ABCD中，AD⊥CD，AB∥CD，∠APD=60∘，PA=CD=2PD=2AB=2
7、，且平面PDA⊥平面ABCD，E为PC的中点．第10页（共10页）（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求直线PD与平面BDE所成角的大小．20.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）在棱AA1上是否存在一点M，使得BM∥平面AD1E?若存在，求AMAA1的值；若不存在，说明理由；（3）若二面角B1−AE−D1的大小为90∘，求AD的长．21.设函数fx=x2+alnx+1，其中a≠0．（1）当a=−1时，求曲线y=fx在原
8、点处的切线方程；（2）试讨论函数fx极值点的个数；（3）求证：对任意的n∈N*，不等式lnn+2n+1>nn+13恒成立．22.已知AB是半圆O的直径，AB=4，点C是半圆O上一点，过C作半圆O的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于E，DE=1．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）求BC的长．23.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ,θ∈0,π2．（1）求C的参数方程；第1
