2015-2016学年山东省青岛市城阳第一高级中学高三上学期期中考试数学（理）

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1、2015-2016学年山东省青岛市城阳第一高级中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题（共10小题；共50分）1.集合A=y∈Ry=lgx,x>1，B=−2,−1,1,2，则下列结论正确的是______A.A∩B=−2,−1B.∁RA∪B=−∞,0C.A∪B=0,+∞D.∁RA∩B=−2,−12.若a=log20.9，b=3−13，c=1312，则______A.a

2、4.若函数fx=3sinωx+cosωx，x∈R，又fα=−2，fβ=0，且α−β的最小值为3π4，则正数ω的值是______A.13B.23C.43D.235.曲线y=e12x在点4,e2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______A.92e2B.4e2C.2e2D.e26.函数fx=loga6−ax在0,2上为减函数，则a的取值范围是______A.0,1B.1,3C.1,3D.3,+∞7.把函数fx=sin2x−2sinxcosx+3cos2x的图象沿x轴向左平移mm>0个单位，所得函数gx的图象关于直线x=π8对称，

3、则m的最小值为______A.π4B.π3C.π2D.3π48.由直线x=12，x=2，曲线y=1x及x轴所围成图形的面积为______A.154B.2ln2C.12ln2D.1749.下图是函数fx=x2+ax+b的部分图象，则函数gx=lnx+fʹx的零点所在的区间是______A.14,12B.1,2C.12,1D.2,310.已知函数fx=x3+ax2+bx+c，在定义域−2,2上表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为−1．有以下命题：第7页（共7页）①fx是奇函数；②若fx在s,t内递减，则t−s的最大值为4

4、；③fx的最大值为M，最小值为m，则M+m=0；④若对∀x∈−2,2，k≤fʹx恒成立，则k的最大值为2，其中正确命题的个数为______A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（共5小题；共25分）11.已知定义在R上的可导函数y=fx的图象在点M1,f1处的切线方程为y=−12x+2，则f1+fʹ1=______．12.若tanα=2，则sinαcosα=______．13.已知函数fx=x3+1−ax2−aa+2xa∈R在区间−2,2上不单调，则a的取值范围是______．14.实数x满足log3x=1+sinθ，则x

5、−1+x−9的值为______．15.如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60∘，点M在AB边上，且AM=13AB，则DM⋅DB等于______．三、解答题（共6小题；共78分）16.已知a=2，b=1，2a−3b⋅2a+b=9．（1）求向量a与b的夹角θ；（2）求a+b及向量a在a+b方向上的投影．17.设命题p：函数fx=lgax2−x+a16的定义域为R；命题q：3x−9x

6、,−1．令fx=a⋅b．（1）求fx的最小正周期及单调增区间．（2）若f14θ=23，且θ∈π6,5π6，求cosθ的值．（3）当x∈π4,π2时，求fx的最小值以及取得最小值时x的值．19.在三角形ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C满足ccosB=2a−bcosC．（1）求角C的大小；（2）若△ABC是锐角三角形，求函数y=2sinB−cos2B的值域；（3）在三角形ABC中，若c=1，求△ABC周长的范围．20.设函数fx=ax2+lnx，gx=x3−x2−3．（1）讨论函数fx的单调性；第7页（

7、共7页）（2）如果对于任意的x1,x2∈13,2，都有x1⋅fx1≥gx2成立，试求实数a的取值范围．21.已知函数fx=x2+ax−lnx，a∈R．（1）若函数fx在1,2上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令gx=fx−x2，是否存在实数a，当x∈0,e（e是自然常数）时，函数gx的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）当x∈0,e时，证明：e2x2−52x>x+1lnx．第7页（共7页）答案第一部分1.D2.B3.C4.B5.D6.B7.A8.B9.C10.B第二部分11.112.2513.−8,−

8、12∪−12,414.815.1第三部分16.（1）因为a=2，b=1，2a−3b⋅2a+b=9所以4a2−4a⋅b−3b2=9，所以4×22−8cosθ−3=9，所以cosθ=12．因为θ∈0,π，所以θ=π3．      （2）由（1）知a⋅b=abcosθ=2×1×12