2015-2016学年天津市第一中学高二上学期期中考试数学（理科）

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1、2015-2016学年天津市第一中学高二上学期期中考试数学（理科）一、选择题（共10小题；共50分）1.下列说法正确的是  A.经过空间内的三个点有且只有一个平面B.如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线上所有点都不在平面α内C.四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形D.用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台2.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是  A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，

2、l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交3.设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则由下列条件可以得到a⊥b的是  A.a⊥α，b∥β，α⊥βB.a⊥α，b⊥β，α∥βC.a⊂α，b⊥β，α∥βD.a⊂α，b∥β，α⊥β4.底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．某正三棱锥的底面是一个边长为2的正三角形，若该正三棱锥的表面积是33，则它的体积是  A.23B.33C.23D.2235.如图，三棱柱A1B1C1−ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C

3、1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是  A.CC1与B1E是异面直线B.AC⊥平面A1B1BAC.AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E6.如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为  A.63B.93C.123D.1837.一个正方体的内切球O1、外接球O2、与各棱都相切的球O3的半径之比为  A.1:3:2B.1:1:1C.1:3:2D.1:2:38.三棱锥S−ABC中，SA⊥底面ABC，SA=4，AB

4、=3，D为AB的中点∠ABC=90∘，则点D到面SBC的距离等于  A.125B.95C.65D.359.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．给出下列命题：①当0

5、10.长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知二面角A1−BD−A的大小为π6，若空间有一条直线l与直线CC1所成角为π4，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是  A.π12,5π12B.π12,π2C.5π12,π2D.0,5π12二、填空题（共6小题；共30分）11.已知向量a=1,−2，b=x,2，若a⊥b，则实数x=______．12.圆柱的底面半径和高都与球的半径相同，则球的表面积与圆柱的侧面积之比为______．13.一个几何体的三视图如右图所示（单位：m），则该几何体的体积为____

6、____m3．14.正方形ABCD的边长为a，沿对角线AC将△ADC折起，若∠DAB=60∘，则二面角D−AC−B的大小为______．15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则EB与底面ABCD所成的角的正切值为______．16.在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是棱AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P−A1MN的体

7、积是  ．三、解答题（共4小题；共52分）17.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD=60∘．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；18.如图，在三棱锥Ｖ−ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC，且AC=BC=2，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC（2）设N是线段AC上一点，满足平面MON∥平面VBC，试说明点的位置N；（3）求三棱锥V−ABC的体积．19.如

8、图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角Ｄ1−EC−D的大小为π4．20.已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证B1N⊥CN：（2）求直线C1N与平面B1CN所成角的余弦值；（3）设M为AB中点，在棱BC上是否存在一点P，使MP∥平