2015年北京市东城区高三文科数学二模试卷

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1、2015年北京东城高考二模数学（文）一、选择题（共8小题；共40分）1.已知全集U=R，集合A=0,1,2，B=2,3,4，如图阴影部分所表示的集合为 ()A.2B.0,1C.3,4D.0,1,2,3,42.若复数m2−m+mi为纯虚数，则实数m的值为 ()A.−1B.0C.1D.23.已知圆的方程为x2+y2−2x−6y+1=0，那么圆心坐标为 ()A.−1,−3B.1,−3C.1,3D.−1,34.设点Px,y，则“x=1且y=−2”是“点P在直线l：x−y−3=0上”的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.设a

2、=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是 ()A.a

3、y=S2，则y关于x的函数y=fx的解析式为 ()第7页（共7页）A.fx=2x2−2x+32，x∈0,1B.fx=32−x,x∈0,12,x+12,x∈12,1.C.fx=−2x2+32,x∈0,12,−2x−12+32,x∈12,1.D.fx=−2x2+2x+32，x∈0,1二、填空题（共6小题；共30分）9.已知抛物线y2=2x上一点Pm,2，则m= ，点P到抛物线的焦点F的距离为 ．10.在△ABC中，已知a=2，b=3，那么sinAsinA+C= ．11.函数y=2x+2x（x<0）的最大值为 ．12.若非零向量a，b满足a+b=a−b=2a，则向量b与a+

4、b的夹角为 ．13.设函数fx=cosx，x∈0,2π的两个零点为x1，x2，且方程fx=m有两个不同的实根x3，x4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m= ．14.如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3，记弧A2A3的长为l3，则l1+l2+l3= ．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线

5、于A4，记弧A3A4的长为l4，⋯，当弧长ln=8π时，n= ．三、解答题（共6小题；共78分）15.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15∘，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2球（这些球除颜色外完全相同），如果摸到的是2个红球，即为中奖．试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?请说明理由．第7页（共7页）16.已知函数fx=cos2x+π3+cos2x+23π，gx=cos2

6、x．（1）若α∈π4,π2，且fα=−353，求gα的值；（2）若x∈−π6,π3，求fx+gx的最大值．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，四边形BCDE为矩形，∠PAD=60∘，PB=23，PA=ED=2AE=2．（1）若PF=λPCλ∈R，且PA∥平面BEF，求λ的值；（2）求证：CB⊥平面PEB．18.已知等比数列an的前4项和S4=5，且4a1，32a2，a2成等差数列．（1）求an的通项公式；（2）设bn是首项为2，公差为−a1的等差数列，其前n项和为Tn，求满足Tn−1>0的最大正整数n．19.已知椭圆C：x2a

7、2+y2b2=1（a>b>0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且AF1=2，又椭圆C过点0,23．（1）求椭圆C的方程；（2）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A,B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1=34k2，证明：A，P，Q三点共线．20.已知函数fx=x3+52x2+ax+b，gx=x3+72x2+lnx+b，（a，b为常数）．（1）若gx在x=1处的切线过点0,−5，求b的值；（2）设函数fx的导函数为fʹx，若关于x的方程fx−x=xfʹx有唯一解，求实数b的取值范围；（3）令Fx=fx−gx，若函