2015年北京海淀二模数学理

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1、2015年北京海淀二模数学理一、选择题(共8小题;共40分)1.已知全集U=Z,集合A=1,2,A∪B=1,2,3,4,那么∁UA∩B= ()A.∅B.x∈Zx≥3C.3,4D.1,22.设a=0.23,b=log20.3,c=20.3,则 ()A.b

2、分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数fx=cos2x+φ(φ为常数)是奇函数,那么cosφ= ()A.−22B.0C.22D.16.已知函数fx的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子,记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验,算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33,由此可估计fxdx01的值约为 ()A.99100B.310C.910D.10117.已知fx是定义域为R的偶函数,当x≤0时,fx=x+13ex+1.那么函数fx的极值点的个数是 ()

3、A.5B.4C.3D.28.若空间中有nn≥5个点,满足任意四点都不共面,且任意两点的连线都与其余任意三点确定的平面垂直,则这样的n值 ()A.不存在B.有无数个C.等于5D.最大值为8二、填空题(共6小题;共30分)9.若等比数列an满足a2a6=64,a3a4=32,则公比q= ;a12+a22+⋯+an2= .第9页(共9页)10.如图,在△ACB中,∠ACB=120∘,AC=BC=3,点O在BC边上,且圆O与AB相切于点D,BC与圆O相交于点E,C,则∠EDB= ,BE= .11.下图表示的是求首项为−4

4、1,公差为2的等差数列an前n项和的最小值的程序框图,①处可填写 ;②处可填写 .12.若双曲线M上存在四个点A,B,C,D,使得四边形ABCD是正方形,则双曲线M的离心率的取值范围是 .13.用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色.若要求每个小方格涂一种颜色,且涂成红色的方格数为偶数,则不同的涂色方案种数是 .(用数字作答)14.设关于x,y的不等式组3x−4≥0,y−13x+y−6≤0表示的平面区域为D,已知点O0,0,A1,0,点M是D上的动点,OA⋅OM=λOM,则λ的取值范围是 .三、解答题(

5、共6小题;共78分)15.在△ABC中,c=5,b=26,a=362cosA.Ⅰ求a的值;Ⅱ求证:∠B=2∠A.16.某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况,随机抽取男、女生各20名进行测试,记录的数据如下(单位:米):男生投掷距离女生投掷距离9775.468766.4556669667.0024455558855308.173119.22010.已知该项目评分标准为:第9页(共9页)男生投掷距离米⋯5.4,6.06.0,6.66.6,7.47.4,7.87.8,8.68.6,10.010.0,+∞女

6、生投掷距离米⋯5.1,5.45.4,5.65.6,6.46.4,6.86.8,7.27.2,7.67.6,+∞个人得分分⋯45678910注:满分10分,且得9分以上(含9分)定为“优秀”.Ⅰ求上述20名女生得分的中位数和众数;Ⅱ从上述20名男生中,随机抽取2名,求抽取的2名男生中优秀人数X的分布列;Ⅲ根据以上样本数据和你所学的统计知识,试估计该年级学生实心球项目的整体情况.(写出两个结论即可)17.如图所示,在四棱锥P−ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=AP=2CD=2,M是棱PB上一点.Ⅰ若BM

7、=2MP,求证:PD∥平面MAC;Ⅱ若平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,求证:PA⊥平面ABCD;Ⅲ在(2)的条件下,若二面角B−AC−M的余弦值为23,求PMPB的值.18.已知函数fx=1−lnxx2.Ⅰ求函数fx的零点及单调区间;Ⅱ求证:曲线y=lnxx存在斜率为6的切线,且切点的纵坐标y0<−1.19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点,点A,B分别是椭圆C的左、右顶点.Ⅰ求圆O和椭圆C的方程;Ⅱ已知P

8、,Q分别是椭圆C和圆O上的动点(P,Q位于y轴两侧),且直线PQ与x轴平行,直线AP,BP分别与y轴交于点M,N.求证:∠MQN为定值.20.对于数列A:a1,a2,⋯,an,经过变换T:交换A中某相邻两段的位置(数列A中的一项或连续的几项称为一段),得到数列TA.例如,数列A:a1,⋯,ai,ai+1,⋯,ai+p⏟M,ai+p+1,⋯,ai+p+q⏟N,ai+p+q+

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