2015南开中学高三年级热身考试

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1、2015南开中学高三年级热身考试一、选择题（共8小题；共40分）1.设复数z=1+i（i是虚数单位），则2z+z2=  A.1+iB.1−iC.−1−iD.−1+i2.设变量x，y满足约束条件y≤0x−y+1≥0x+y−3≤0，则z=x2+y的最大值为  A.−12B.52C.32D.33.已知命题p:∀x>0,x+4x≥4；命题q:∃x0∈0,+∞,2x0=12，则下列判断正确的是  A.p是假命题B.q是真命题C.p∧¬q是真命题D.¬p∧q是真命题4.若执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为 

2、 A.8B.7C.6D.55.等差数列an的前项和为Sn，若6a3+2a4−3a2=5，则S7=  A.28B.21C.14D.76.已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且cosC=23，AC⋅CB=−2，且a+b=26，则c边长为  A.5B.4C.13D.17第10页（共10页）7.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0与函数y=x的图象交于点P，若函数y=x的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F−1,0，则双曲线的离心率为  A.5+12B.5+22C.3+12D.32

3、8.设函数fx=x2+bx+2,x≤0a−x,x>0，若两条平行直线6x+8y+a=0与3x+by+11=0之间的距离为a，则函数gx=fx−lnx+2的零点个数为  A.1B.2C.3D.4二、填空题（共6小题；共30分）9.为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是______．10.一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为

4、2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积为______．11.如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若∠B=30∘，AC=3，则OD的长为______．第10页（共10页）12.已知a=∫0π3cosx−sinxdx，则二项式x2+ax5展开式中x的系数为______．13.如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则AM⋅AO的值为______．14.已知函数px=lnx+1，qx=ex，若qx1=px2成立，则x2−

5、x1的最小值为______．三、解答题（共6小题；共78分）15.某射手每次射击击中目标的的概率是23，且各次射击的结果互不影响．（1）假设这名身手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；（2）假设这名身手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；（3）假设这名身手射击3次，每次射击，击中目标是1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．16.已知函数fx=23sinxco

6、sx+2cos2x−1x∈R．（1）求函数fx的最小正周期及在区间0,π2上的最大值和最小值；（2）若fx0=65,x0∈π4,π2，求cos2x0的值．17.如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图（2）．第10页（共10页）（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与

7、平面A1BE垂直?说明理由．18.设等比数列an的前n项和为Sn，已知an+1=2Sn+2n∈N*．（1）求数列an的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，设数列1dn的前n项和Tn，求Tn并证明Tn<1516．19.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，且F1F2=2，点P1,32在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点MN是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l

8、，求四边形F1MNF2的面积S的最大值．20.设fx是定义在a,b上的函数，若存在c∈a,b，使得fx在a,c上单调递增，在c,b上单调递减，则称fx为a,b上的单峰函数，c为峰点．（1）已知fx=14x2−2x+2t2为a,b上的单峰函数，求t的取值范围及b−a的最大值；（2）设fn=2015+px−x+x22+x33+⋯+xn+1n+1+p3xn+4n+4，其中x∈N*，p>2．①证明；对任意n∈N*，fx为0,1−1p上的单峰函数；②记函数fnx在