2015年广东省茂名市高三理科一模数学试卷

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1、2015年广东省茂名市高三理科一模数学试卷一、选择题(共8小题;共40分)1.设全集U=1,2,3,4,5,6,集合A=1,2,3,5,B=2,4,6,则∁UA∩B为  A.2B.4,6C.1,3,5D.2,4,62.i为虚数单位,则复数1+ii的虚部是  A.−iB.iC.1D.−13.设a∈R,则“a=−2”是“直线l1:ax+2y−1=0与直线l2:x+a+1y+4=0平行”的  A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列函数中,在−1,1内有零点

2、且单调递增的是  A.y=log12xB.y=2x−1C.y=x2−12D.y=−x35.以点3,−1为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是  A.x+32+y−12=1B.x−32+y+12=1C.x+32+y−12=2D.x−32+y+12=26.如图,三行三列的方阵中有9个数aij(i=1,2,3;j=1,2,3)从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是  a11a12a13a21a22a23a31a32a33A.37B.47C.114D.13147.设x,y满足约束条件

3、x≥2,3x−y≥1,y≥x+1,若目标函数z=ax+bya>0,b>0的最小值2,则ab的最大值为  A.1B.12C.16D.148.设函数y=fx在R上有定义,对于任一给定的正数p,定义函数fpx=fx,fx≤pp,fx>p,则称函数fpx为fx的“p界函数”.若给定函数fx=x2−2x−2,p=1,则下列结论成立的是  A.fpf0=ffp0B.fpf1=ffp1C.fpf2=fpfp2D.ff−2=fpfp−2二、填空题(共7小题;共35分)9.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角:

4、A,B,C所对的边,若a=3,C=120∘,△ABC的面积S=1534,则c为 .第9页(共9页)10.一个几何体的三视图如图所示,正视图为正方形,俯视图为半圆,侧视图为矩形,则其表面积为 .11.若执行如图所示的程序框图,则输出的S是 .12.已知等比数列an的第5项是二项式x−13x6展开式的常数项,则a3a7= .13.已知A,B是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,且k1k2≠0若∣k1∣+∣k2∣的

5、最小值为1,则椭圆的离心率 .14.在极坐标系中,曲线ρ=sinθ与ρ=cosθ(ρ>0,0≤θ≤π2)的交点的极坐标为 .15.如图,圆O的半径为13 cm,点P是弦AB的中点,PO=5 cm,弦CD过点P,且CPCD=13,则CD的长为 cm.三、解答题(共6小题;共78分)16.已知函数fx=sin2xcosφ+cos2xsinφx∈R,0<φ<π,fπ4=32.(1)求fx的解析式;(2)若fα2−π3=513,α∈π2,π,求sinα+π4的值.第9页(共9页)17.第117届中国进出

6、口商品交易会(简称2015年春季交广会)将于2015年4月15日在广州市举行,为了搞好接待工作,组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者,现将这20名志愿者的身高组成如图所示的茎叶图(单位:m),若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”,身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”.(1)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数(保留一位小数);(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用ξ表示所选志愿者中为女志愿者的人数,试写出ξ的分布列,

7、并求ξ的数学期望.18.如图,在四棱锥P−ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥DC,DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD=1,DB=22,PD=2.(1)证明:PA∥平面BDE;(2)证明:AC⊥PB;(3)求二面角E−BD−C的余弦值.19.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,且2nSn+1−2n+1Sn=nn+1n∈N*.数列bn满足bn+2−2bn+1+bn=0n∈N*.b3=5,其前9项和为63.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)令cn=bnan+anbn,数列cn的

8、前n项和为Tn,若对任意正整数n,都有Tn−2n∈a,b,求b−a的最小值.20.已知点F0,1,直线l:y=−1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且QP⋅QF=FP⋅FQ.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)设M为直线l1:y=−mm>2上的任意一点,过点M作轨迹C的两条切线MA,MB.切点分别为A,B,试探究直线l1上是否存在点M,使得△MAB为直角三角形?若存在,有几个这样的点;若不存在,请说明理由.21.已知函数fx=13x3−k+12x2,gx=13−kx,且fx在区

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