2015年广东佛山第一中学高二下学期理科数学期中考试试卷

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1、2015年广东佛山第一中学高二下学期理科数学期中考试试卷一、选择题（共10小题；共50分）1.已知复数a+bi=i1−i（其中a,b∈R，i是虚数单位），则a+b的值为  A.−2B.−1C.0D.22.某质点的运动方程是St=2t−t+12，则在t=2 s时的瞬时速度为  A.−2B.−4C.−5D.03.已知二次函数fx=1−x2，则它的图象与x轴所围图形的面积为  A.43B.2π5C.32D.π24.在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，⋯这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形（如图），则第n个三角形数为  

2、A.nB.12nn+1C.n2−1D.12nn−15.用0，1，2，3，4五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为  A.10B.24C.48D.1206.在2x2−1x5的二项展开式中x的系数为  A.−10B.10C.−40D.407.fʹx是fx的导函数，fʹx的图象如图所示，则fx的图象只可能是  第7页（共7页）A.B.C.D.8.函数y=x3−3x+3在−32,2上的最小值是  A.1B.338C.5D.09.一排9个座位坐了3个三口之家，每家人坐一起，则不同的坐法种数为  A.3×3!B.3×3!3C.3!4D.9!10.已知函数fx=x

3、lnx−ax有两个极值点，则实数a的取值范围是  A.−∞,0B.0,12C.0,1D.0,+∞二、填空题（共4小题；共20分）11.计算定积分∫−11sinxdx=______．12.用反证法证明命题“a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：“方程x3+ax+b=0______”．13.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案有______种（请用数字作答）．14.将正偶数按如图所示的规律排列：2   46  81012 14161820⋯⋯  

4、 则第nn≥4行从左向右的第4个数为______．第7页（共7页）三、解答题（共6小题；共78分）15.已知复数z1=a+5+3a+1i，z2=3a+1+a2−3i，（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1−z2在复平面上对应点落在第一象限内，求实数a的取值范围；（2）把复数z的共轭复数记为z，若a=1时，求z1⋅z1与z2z2．16.某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的件数t与商品单价的降低值x元0≤x≤30的函数关系为：t=kx2．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星

5、期的商品的销售利润表示成x的函数；（2）如何定价才能使得一个星期的商品销售利润最大?17.（1）求证：4sinθcos2θ2=2sinθ+sin2θ．（2）已知：x>y>0，且xy=1，求证：x2+y2x−y≥22，且求等号成立的条件．18.已知函数fx=x2+ax−2a2+3aexx∈R（1）当a=0时，求曲线y=fx在1,f1处的切线的斜率；（2）当a>23时，求函数fx的极值．19.设数列an满足a1=2，an+1=an+1ann=1,2,⋯．（1）试写出a2，a3，a4；（2）请用数学归纳法，证明an>2n+1对一切正整数n都成立；（3）令bn=an

6、nn=1,2,⋯，判定bn与bn+1的大小，并说明理由．20.设函数fx=ex−x，gx=ax2+1，其中e为自然对数的底数（1）求函数fx的增区间；（2）当x≥0时，fx−gx≥0，求a的取值范围；（3）若n∈N*，证明：1nn+2nn+⋯+n−1nn+nnn0,3a+4−a2>

7、0,所以实数a的取值范围为−1

8、=fx，y=fʹx的变化情况如下表：x0,222,1