2015年山西省太原市高三理科二模数学试卷

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1、2015年山西省太原市高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.已知i为虚数单位，集合A=1,2,zi，B=1,3，A∪B=1,2,3,4，则复数z=  A.−4iB.4iC.−2iD.2i2.下列命题中的假命题是  A.∀x∈R，ex>0B.∀x∈R，x2≥0C.∃x0∈R，sinx0=2D.∃x0∈R，2x0>x023.已知平面向量a=1,x，b=2,y，且a⊥b，则∣a+b∣的最小值等于  A.1B.5C.7D.34.已知sinα+cosα=2，α∈−π2,π2，则tanα=  

2、A.−1B.−22C.22D.15.执行如图所示的程序框图，若P=1112，则输出的n=  A.4B.5C.6D.76.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为  A.143B.4C.103D.3第13页（共13页）7.已知△ABC中，cosA=35，cosB=45，BC=4，则△ABC的面积为  A.6B.12C.5D.108.已知点A−a,0，Ba,0，若圆x−32+y−42=1上存在点P，使得∠APB=90∘，则正数a的取值范围为  A.4,6B.5,6C.4,5D.3,69.已知函数f

3、x的导函数在a,b上的图象关于直线x=a+b2对称，则函数y=fx在a,b上的图象可能是  A.B.C.D.10.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是  A.1,2B.1,2C.0,1D.0,211.已知F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，点P在双曲线右支上，且F1P⋅OF1+OP=0（O为坐标原点），若∣F1P∣=2∣F2P∣，则该双曲线的离心率为  A.6+3B.6+32C.6+2D.

4、6+2212.已知函数fx的定义域为0,+∞，且满足fx+xfʹx=lnxx，fe=1e，则下列结论正确的是  A.fx有极大值无极小值B.fx有极小值无极大值C.fx既有极大值又有极小值D.fx没有极值二、填空题（共4小题；共20分）13.在直角坐标平面内，由曲线xy=1，y=x，x=3所围成的封闭图形面积为 ．14.已知实数x，y满足条件x≥0,4x+3y≤4,y≥0,则z=x+y+1x最小值为 ．15.已知数列an满足a1=1，an−an+1=2anan+1nn+1n∈N*，则an= ．第13页

5、（共13页）16.已知0≤x≤1，若12x3−ax≤1恒成立，则实数a的取值范围为 ．三、解答题（共8小题；共104分）17.已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1=1，S3=9，数列bn中，b1=1，b3=20．（1）若数列bnan是公比为q且q>0的等比数列，求an，bn；（2）在（1）的条件下，求数列bn的前n项和Tn．18.已知正三棱锥S−ABC的侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，D，E，F分别是它们的中点，SA=SB=SC=2，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，加上点S，把这四

6、个点每两个点相连后得到一个‘‘空间体”，记这个“空间体”的体积为X（若点S与所取三点在同一平面内，则规定X=0）．（1）求事件“X=0”的概率；（2）求随机变量X的分布列及数学期望．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60∘，AB=2AD=2，PD⊥平面ABCD．（1）求证：AD⊥PB；（2）若BD与平面PBC的所成角为30∘，求二面角P−BC−D的余弦值．20.已知动点A在椭圆C:y2a2+x2b2=1a>b>0上，动点B在直线x=−2上，且满足OA⊥OB（O为坐标原

7、点），椭圆C上点M32,3到两焦点距离之和为43．（1）求椭圆C方程．（2）判断直线AB与圆x2+y2=3的位置关系，并证明你的结论．21.已知函数fx=lnx−axa∈R有两个不相等的零点x1，x2x1

8、M．23.已知平面直角坐标系xOy中，过点P−1,−2的直线l的参数方程为x=−1+tcos45∘,y=−2+tsin45∘（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθtanθ=2a（a>0），直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．（1）求曲线C和直线l的普通方程；（2）若∣PM∣=∣MN∣，求实数a的值．24.已知函数fx=x+a+x+1aa>0．（1）当a=2时，求不等式fx>3的解集；（2）证明：fm