2016-2017学年北京市朝阳区高三上学期期中数学(理科)

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1、2016-2017学年北京市朝阳区高三上学期期中数学(理科)一、选择题(共8小题;共40分)1.已知全集U=R,集合A=xx2−2x<0,B=xx−1≥0,那么A∩∁UB=______A.xx<0B.x02D.x1b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c4.已知函数fx=ax2−x,若对任意x

2、1,x2∈2,+∞,且x1≠x2,不等式fx1−fx2x1−x2>0恒成立,则实数a的取值范围是  A.12,+∞B.12,+∞C.14,+∞D.14,+∞5.设m∈R且m≠0,“不等式m+4m>4”成立的一个充分不必要条件是  A.m>0B.m>1C.m>2D.m≥26.已知三角形ABC外接圆O的半径为1(O为圆心),且2OA+AB+AC=0,OA=2AB,则CA⋅BC等于  A.−154B.−152C.154D.1527.已知函数fx=x+1,x≤0log2x,x>0,则函数gx=ffx−12的零点个数是  A.4B.3C.2D.18.5个黑球和4个

3、白球从左到右任意排成一排,下列说法正确的是  A.总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多B.总存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多C.总存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个D.总存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个二、填空题(共6小题;共30分)9.已知向量a=sinx,cosx,b=sinx,sinx,则函数fx=a⋅b的最小正周期为______.10.函数fx=cos2x−sin2x的单调递减区间为______.11.设各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若a3=2,S4=5S2,则a1的值为______,S4的值为______.12

4、.已知角A为三角形的一个内角,且cosA=35,则tanA=______,tanA+π4=______.第5页(共5页)13.已知函数fx=mx2+1,x≥0m2−12x,x<0在−∞,+∞上具有单调性,则实数m的取值范围是______.14.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐.齐去长安三干里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里;驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马.问几何日相逢.”其意为:“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去.已知长安和齐的距离是3000里,良马第一天行193里,之

5、后每天比前一天多行13里;驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后,返回去迎驽马.多少天后两马相遇.”利用我们所学的知识,可知离开长安后的第______天,两马相逢.三、解答题(共6小题;共78分)15.已知数列ann∈N*是公差不为0的等差数列,a1=1,且1a2,1a4,1a8成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)设数列1an⋅an+1的前n项和为Tn,求证:Tn<1.16.已知函数fx=asinx−3cosxa∈R的图象经过点π3,0.(1)求fx的最小正周期;(2)若x∈π2,3π2,求fx的取值范围.17.如图,已知

6、A,B,C,D四点共面,且CD=1,BC=2,AB=4,∠ABC=120∘,cos∠BDC=277.(1)求sin∠DBC;(2)求AD.18.已知函数fx=x24−ax+cosxa∈R,x∈−π2,π2.(1)若函数fx是偶函数,试求a的值.(2)当a>0时,求证:函数fx在0,π2上单调递减.19.已知函数fx=exx2−a,a∈R.(1)当a=1时,求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程.(2)若函数fx在−3,0上单调递减,试求a的取值范围.(3)若函数fx的最小值为−2e,试求a的值.20.设a,b是正奇数,数列cnn∈N*定义如下:c1=a,

7、c2=b,对任意n≥3,cn是cn−1+cn−2的最大奇约数.数列cn中的所有项构成集合A.第5页(共5页)(1)若a=9,b=15,写出集合A.(2)对k≥1,令dk=maxc2k,c2k−1(maxp,q表示p,q中的较大值),求证:dk+1≤dk.(3)证明:集合A是有限集,并写出集合A中的最小数.第5页(共5页)答案第一部分1.B2.C3.B4.D5.C6.A7.B8.A第二部分9.π10.kπ,kπ+π2k∈Z11.12;15212.43; −713.1,214.16第三部分15.(1)an=n      (2)由(1)得:1an⋅an+1=1

8、n⋅n+1=1n−1n+1.所以Tn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=

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