2017年江苏省淮安市淮海中学高三理科下学期第二次段考数学试卷

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1、2017年江苏省淮安市淮海中学高三理科下学期第二次段考数学试卷一、填空题(共14小题;共70分)1.已知集合U=1,2,3,4,A=1,3,B=1,3,4,则A∪∁UB= .2.函数fx=sinx−cosx2的最小正周期为 .3.已知复数z满足1−iz=3+i(i是虚数单位),则z的模为 .4.设函数fx=x3cosx+1,若fa=11,则f−a= .5.如图,矩形ABCD由两个正方形拼成,则∠CAE的正切值为 .6.若直线l1:x+2y−4=0与l2:mx+2−my−3=0平行,则实数m的值为 .7

2、.在等比数列an中,已知a1=1,ak=243,q=3,则数列an的前k项的和Sk= .8.已知点P是函数fx=cosx0≤x≤π3图象上的一点,则曲线y=fx在点P处的切线斜率取得最大值时切线的方程为 .9.若cosπ6−θ=33,则cos5π6+θ−sin2θ−π6= .10.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60∘,点E和点F分别在线段BC和CD上,且BE=23BC,DF=16DC,则AE⋅AF的值为 .11.已知等比数列an的首项为2,公比为3,前n项和为Sn

3、.若log312anS4m+1=9,则1n+4m的最小值是 .12.在平面直角坐标系xOy中,点A1,0,B4,0,若直线x−y+m=0上存在点P,使得2PA=PB,则实数m的取值范围是 .13.已知函数fx=ex,x≤1,fx−1,x>1.,gx=kx+1,若方程fx−gx=0有两个不同实根,则实数k的取值范围为 .14.已知函数fx=x1+mx,x≥0x1−mx,x<0,若关于x的不等式fx>fx+m的解集为M,且−1,1⊆M,则实数m的取值范围是 .二、解答题(共6小题;共78分)15.在△AB

4、C中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2b−ca=cosCcosA.(1)求角A的值;(2)若△ABC的面积为32,且a=5,求△ABC的周长.16.如图已知四边形AOCB中,∣OA∣=5,OC=5,0,点B位于第一象限,若△BOC为正三角形.第8页(共8页)(1)若cos∠AOB=35,求A点的坐标;(2)记向量OA与BC的夹角为θ,求cos2θ的值.17.如图,在半径为30 cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A(点A,B在直径上,点C,D在半圆周上,O为圆心),并将其卷成一个以AD为母线的圆

5、柱体罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗).(1)若要求圆柱体罐子的侧面积最大,应如何截取?(2)若要求圆柱体罐子的体积最大,应如何截取?18.已知定点A−1,0,圆C:x2+y2−2x−23y+3=0.(1)过点A向圆C引切线,求切线长;(2)过点A作直线l1交圆C于P,Q,且AP=PQ,求直线l1的斜率k;(3)定点M,N在直线l2:x=1上,对于圆C上任意一点R都满足RN=3RM,试求M,N两点的坐标.19.已知数列an和bn满足a1a2⋯an=2bnn∈N*,若an为等比数列,且a1=2,b3=6+

6、b2.(1)①求an和bn;②设cn=1an−1bnn∈N*,记数列cn的前n项和为Sn,求Sn.(2)求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.20.已知函数fx=x2−2alnxa∈R,gx=2ax.(1)求函数fx的极值;(2)若a>0,函数hx=fx−gx有且只有一个零点,求实数a的值;(3)若0gx1−gx2成立,求a的取值范围.第8页(共8页)答案第一部分1.1,2,32.π3.2【解析】因为复数z满足1−

7、iz=3+i(i是虚数单位),所以z=3+i1−i=3+i1+i1−i1+i=3+i+3i+i21−i2=3−12+3+12i,所以z的模为∣z∣=3−122+3+122=2.4.−9【解析】令gx=x3cosx,则fx=gx+1且gx为奇函数,所以g−a=−ga.由fa=11得ga+1=11,所以ga=10,f−a=g−a+1=−ga+1=−10+1=−9.5.13【解析】由图知,∠CAE=∠EAF−∠CAB.又因为tan∠EAF=1,tan∠CAB=12,所以tan∠CAE=tan∠EAF−∠CA

8、B=1−121+12=13.6.23【解析】因为直线l1:x+2y−4=0与l2:mx+2−my−3=0平行,直线l1的斜率存在,所以直线l2的斜率也存在.所以两条直线的方程可以化为:y=−12x+2,y=mm−2x+32−m,所以−12=mm−2,2≠32−m,解得:m=23.7.364【解析】等比数列前n项和为Sn=a1−anq1−q,因为等比数列an中,已知a1=1,ak=243,q=3,所以数列an的前k项的和Sk=a1−akq1−q=1−243

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