2017年江苏省南京市、淮安市高三三模数学试卷

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1、2017年江苏省南京市、淮安市高三三模数学试卷一、填空题(共14小题;共70分)1.已知全集U=1,2,3,4,集合A=1,4,B=3,4,则∁UA∪B= .2.甲盒子中有编号分别为1,2的两个乒乓球,乙盒子中有编号分别为3,4,5,6的四个乒乓球.现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球,则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 .3.若复数z满足z+2z=3+2i,其中i为虚数单位,z为复数z的共轭复数,则复数z的模为 .4.执行如下所示的伪代码,若输出的y值为1,则输入x的值为 .ReadxIfx≥0Theny←

2、2x+1Elsey←2−x2EndIfPrinty5.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则在这五场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差为 .6.在同一直角坐标系中,函数y=sinx+π3x∈0,2π的图象和直线y=12的交点的个数是 .7.在平面直角坐标系xOy中,双曲线x22m2−y23m=1的焦距为6,则所有满足条件的实数m构成的集合是 .8.已知函数fx是定义在R上且周期为4的偶函数,当x∈2,4时,fx=log4x−32,则f12的值为 .9.若等比数列an的各项均为正

3、数,且a3−a1=2,则a5的最小值为 .10.如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90∘,点D为侧棱BB1上的动点,当AD+DC1最小时,三棱锥D−ABC1的体积为 .第8页(共8页)11.函数fx=ex−x2+2x+a在区间a,a+1上单调递增,则实数a的最大值为 .12.在凸四边形ABCD中,BD=2,且AC⋅BD=0,AB+DC⋅BC+AD=5,则四边形ABCD的面积为 .13.在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=1,圆M:x+a+12+y−2a2=1(a

4、为实数).若圆O和圆M上分别存在点P,Q,使得∠OQP=30∘,则a的取值范围为 .14.已知a,b,c为正实数,且a+2b≤8c,2a+3b≤2c,则3a+8bc的取值范围为 .二、解答题(共6小题;共78分)15.如图,在三棱锥A−BCD中,E,F分别为CD,BC上的点,且BD∥平面AEF.(1)求证:EF∥平面ABD;(2)若AE⊥平面BCD,BD⊥CD,求证:平面AEF⊥平面ACD.16.已知向量a=2cosα,sin2α,b=2sinα,t,α∈0,π2,t为实数.(1)若a−b=25,0,求t的值;(2)

5、若t=1,且a⋅b=1,求tan2α+π4的值.17.在水域上建一个演艺广场,演艺广场由看台Ⅰ,看台Ⅱ,三角形水域ABC,及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图),看台Ⅰ,看台Ⅱ是分别以AB,AC为直径的两个半圆形区域,且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍,矩形表演台BCDE中,CD=10米,三角形水域ABC的面积为4003平方米,设∠BAC=θ.第8页(共8页)(1)求BC的长(用含θ的式子表示);(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元,求表演台的最低造价.18.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b

6、2=1a>b>0的右顶点和上顶点分别为点A,B,M是线段AB的中点,且OM⋅AB=−32b2.(1)求椭圆的离心率;(2)若a=2,四边形ABCD内接于椭圆,AB∥CD,记直线AD,BC的斜率分别为k1,k2,求证:k1⋅k2为定值.19.已知常数p>0,数列an满足an+1=p−an+2an+p,n∈N*.(1)若a1=−1,p=1,①求a4的值;②求数列an的前n项和Sn;(2)若数列an中存在三项ar,as,at(r,s,t∈N*,r

7、−ex−λxlnx−x+1的导数为gx.(1)求曲线y=fx在x=1处的切线方程;(2)若函数gx存在极值,求λ的取值范围;(3)若x≥1时,fx≥0恒成立,求λ的最大值.第8页(共8页)答案第一部分1.22.383.54.−15.3456.27.328.129.810.13【解析】将直三棱柱ABC−A1B1C1展开成矩形ACC1A1,如图,连接AC1,交BB1于D,此时AD+DC1最小,因为AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90∘,点D为侧棱BB1上的动点,所以当AD+DC1最小时,BD=1,此时三棱锥D−

8、ABC1的体积:VD−ABC1=VC1−ABD=13×S△ABD×B1C1=13×12×AB×BD×B1C1=13×12×1×1×2=13.11.−1+5212.3【解析】因为AC⋅BD=0,所以AC⊥BD,因为AB+DC⋅BC+AD=5,所以AB+BC+DC+CB⋅BC+CD+AD+DC=AC+DB⋅BD+AC=AC2−BD2=5,第8页(共

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