2017年江苏省南通市高三一模数学试卷

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1、2017年江苏省南通市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1.函数y=2sin3x−π3的最小正周期为______．2.设集合A=1,3，B=a+2,5，A∩B=3，则A∪B=______．3.复数z=1+2i2，其中i为虚数单位，则z的实部为______．4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为______．5.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为______．6.若实数x，y满足2x+y≤4,x+3y≤7,

2、x≥0,y≥0,则z=3x+2y的最大值为______．7.抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为______．8.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=3 cm，AA1=1 cm，则三棱锥D1−A1BD的体积为______cm3．9.在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线，则该双曲线的离

3、心率为______．10.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为______升．11.在△ABC中，若BC⋅BA+2AC⋅AB=CA⋅CB，则sinAsinC的值为______．第12页（共12页）12.已知两曲线fx=2sinx，gx=acosx,x∈0,π2相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为______．13.已知函数fx=∣x∣+∣x−4∣，则不等式fx2+2>fx

4、的解集用区间表示为______．14.在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A1,1，且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为______．二、解答题（共12小题；共156分）15.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=255．（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为513，求点B的坐标．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为P

5、C的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：（1）直线PA∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y=2于点Q，求1OP2+1OQ2的值．第12页（共12页）18.如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处

6、（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP=π4时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19.已知函数fx=ax2−x−lnx，a∈R．（1）当a=38时，求函数fx的最小值；（2）若−1≤a≤0，证明：函数fx有且只有一个零点；（3）若函数fx有两个零点，求实数a的取值范围．20.已知等差数列an的公差d不为0，且ak1，ak2，⋯，akn，⋯（k1

7、比数列，公比为q．（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求a1d的值；（2）当a1d为何值时，数列kn为等比数列；（3）若数列kn为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式an+akn>2kn恒成立，求a1的取值范围．21.已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．22.已知向量1−1是矩阵A的属于特征值−1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P1,1在矩阵A对应的变换作用下变为Pʹ3,3，求矩阵A．23.在极坐标系中，求直线θ=π4ρ∈R被曲线ρ=4si

8、nθ所截得的弦长．24.求函数y=3sinx+22+2cos2x的最大值．25.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1λ≠0．第12页（共12页）（1）若λ=12，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45∘，求实数λ的值．26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2pyp>0上的点Mm,1到焦点F的距离