2017年江苏省南京市溧水高中高一下学期5月月考数学试卷

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1、2017年江苏省南京市溧水高中高一下学期5月月考数学试卷一、填空题(共14小题;共70分)1.不等式−x2+2x+3<0的解集是 .2.过点A2,3,倾斜角为π4的直线的斜截式方程为 .3.函数fx=2x+92x+1的最小值为 .4.已知α∈π2,π,sinα=55,则tan2α= .5.已知等比数列an的各项都为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列an的通项公式an= .6.等差数列an前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k= .7.关于x的不等式x2−2ax−8a2<0a>0的解集为x1,x2,且x2−x1=15,则a

2、= .8.设一个正方体与底面边长为23,侧棱长为10的正四棱锥的体积相等,则该正方体的棱长为 .9.若π2<β<α<3π4,cosα−β=1213,sinα+β=−35,则tanαtanβ的值为 .10.已知直线l:y=ax+2和A1,4,B3,1两点,当直线l与线段AB有公共点时,则实数a的取值范围为 .11.设Sn是等比数列an的前n项和,an>0,若S6−2S3=5,则S9−S6的最小值为 .12.如图,在凸四边形ABCD中,AB=1,BC=3,AC⊥CD,AC=CD.当∠ABC=45∘时,对角线BD的长为 .13.已知a,t为正实数,函数fx=x2

3、−2x+a,且对任意的x∈0,t都有fx∈−a,a,若对每一个正实数a,记t的最大值为ga,则g1+g38= .14.实数x,y满足x24−y2=1,则3x2−2xy的最小值是 .二、解答题(共6小题;共78分)15.已知向量a=2cosα,sin2α,b=2sinα,t,α∈0,π2,t为实数.(1)若a−b=25,0,求t的值;(2)若t=1,且a⋅b=1,求tan2α+π4的值.16.如图,在四棱锥P−ABCD中,四边形ABCD为矩形,AB⊥BP,M为AC的中点,N为PD上一点.第9页(共9页)(1)若MN∥平面ABP,求证:N为PD的中点;(2)若

4、平面ABP⊥平面APC,求证:BP⊥PC.17.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an−2.(1)求数列an的通项公式;(2)设Tn为数列an2的前n项和,若S2n=tTn,求实数t的值.18.某食品公司为了让产品更具竞争力,在不改变高度的前提下,对原高度h=9 cm,底面半径r=6 cm的圆柱体密闭包装罐(如图1)进行了重新设计,把下底圆面改为内凹的半球面(如图2).(1)求原包装罐的容积V与表面积S之比VS;(2)如果认定新包装罐的容积V与表面积S之比VS最大时的设计方案最佳,试求设计方案最佳时新包装罐的底面半径r为多少?19.在矩形ABCD中,

5、AB=2,BC=t,对于边BC(含端点)上任意一点P,在边CD(含端点)上总存在一点Q,使AP⋅AQ=4.如图,以A为原点,直线AB为x轴,建立平面直角坐标系.(1)当BP=1时,求直线BQ的方程;(2)求实数t的取值范围.20.设数列an的前n项和为Sn,且Sn+1+Sn=n+1an+1−12an−1,n∈N*.(1)若数列an是等差数列,求数列an的通项公式;(2)设a2=6,求证:数列an是等差数列.第9页(共9页)答案第一部分1.xx<−1或x>3【解析】由−x2+2x+3<0得x2−2x−3>0,x+1x−3>0,x<−1或x>3.因此,不等式−

6、x2+2x+3<0的解集是xx<−1或x>3.2.y=x+1【解析】因为倾斜角为π4,所以斜率k=tanπ4=1.由点斜式可得:y−3=x−2,化为斜截式得:y=x+1.3.5【解析】fx=2x+92x+1=1+2x+92x+1−1≥22x+1⋅92x+1−1=5,当且仅当x=1时取等号.4.−43【解析】先求出tanα的值,再运用二倍角公式求tan2α的值.5.3n−1【解析】由1,a+1,2a+5为等比数列的前3项,得到a+12=2a+5,化简得:a2=4,由a+1>0得到a>−1,所以解得a=2,所以等比数列的前3项依次为:1,3,9,则a1=1,q

7、=3,则数列an的通项公式an=3n−1.6.10【解析】∵S9=S4,即9a1+a92=4a1+a42.∴9a5=2a1+a4,即91+4d=22+3d.∴d=−16.由1−16k−1+1+3⋅−16=0,得k=10.7.528.29.14【解析】因为π2<β<α<3π4,cosα−β=cosαcosβ+sinαsinβ=1213, ⋯⋯①α−β∈0,π4,所以sinα−β=1−cos2α−β=513,因为sinα+β=−35,α+β∈π,3π2,所以第9页(共9页)cosα+β=−1−sin2α+β=−45=cosαcosβ−sinαsinβ. ⋯⋯②

8、由①②求得cosαcosβ=465,sinαsinβ=5665,则

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