2017年宁夏中卫市高三理科一模数学试卷

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2017年宁夏中卫市高三理科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.已知m,n∈R，集合A=2,log7m，B=m,2n，若A∩B=1，则m+n=  A.5B.6C.7D.82.命题“∀x>0，lnx≤x−1”的否定是  A.∃x0>0，lnx0≤x0−1B.∃x0>0，lnx0>x0−1C.∃x0<0，lnx00，lnx0≥x0−13.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1=1−2i，其中i是虚数单位，则z2z1的虚部为  A.−45B.45C.−45iD.45i4.已知随机变量ξ服从正态分布N2,σ2，且函数fx=x2+2x−ξ+1不存在零点的概率为0.08，则随机变量P0<ξ<2=  A.0.08B.0.42C.0.84D.0.165.如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为  A.7B.5C.2D.36.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为  A.52B.54C.53D.567.已知定义在R上的函数fx=2∣x∣，记a=flog0.53，b=flog25，c=f0，则a，b，c的大小关系为  A.a0的焦点为F，过焦点F且倾斜角为π3的直线与抛物线相交于A，B两点，若∣AB∣=8，则抛物线的方程为  A.y2=4xB.y2=8xC.y2=3xD.y2=6x9.如图所示的程序框图描述的为辗转相除法，若输入m=5280，n=1595，则输出的m=  第8页（共8页） A.2B.55C.110D.49510.已知x，y满足y≥x,x+y≤2,x≥a,且z=2x−y的最大值是最小值的−2倍，则a=  A.12B.−12C.23D.−2311.过双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若FB=2FA，则此双曲线的离心率为  A.2B.3C.2D.512.若实数a满足x+lgx=2，实数b满足x+10x=2，函数fx=2lnx+2−a+b2,x≤0x2−2,x>0，则关于x的方程fx=x解的个数为  A.1B.2C.3D.4二、填空题（共4小题；共20分）13.已知a=∫0πsinxdx则二项式1−ax5的展开式中x−3的系数为______．14.若数列an满足：只要ap=aqp,q∈N*，必有ap+1=aq+1，那么就称数列an具有性质P，已知数列an具有性质P，且a1=1，a2=2，a3=3，a5=2，a6+a7+a8=21，则a2017=______．15.已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为______．16.在△ABC，B=π3，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，ED=62，则角A=______．第8页（共8页） 三、解答题（共7小题；共91分）17.已知函数fx=32sin2x−12cos2x−sin2x−1，x∈R，将函数fx向左平移π6个单位后得函数gx，设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若c=7，fC=0，sinB=3sinA，求a，b的值；（2）若gB=0且m=cosA,cosB，n=1,sinA−cosAtanB，求m⋅n的取值范围．18.某超市从2017年1月甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按0,10，10,20，20,30，30,40，40,50分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（1）写出频率分布直方图（甲）中的a值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为S12与S22，试比较S12与S22的大小（只需写出结论）；（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（3）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的分布列和数学期望．19.如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=22，现将梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N分别为AF，BD的中点．第8页（共8页） （1）求证：MN∥平面BCF；（2）若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为22，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0，其短轴为2，离心率为22．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G2,0作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．21.已知函数fx=−alnx+a+1x−12x2a>0．（1）讨论fx的单调性；（2）若fx≥−12x2+ax+b恒成立，求实数ab的最大值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=2+2sinθ（θ为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）设点M的极坐标为2,π4，过点M的直线l与曲线C相交于A，B两点，求∣MA∣⋅∣MB∣．23.设fx=∣x−1∣+∣x+1∣x∈R．（1）解不等式fx≤4；（2）若存在非零实数b使不等式fx≥∣2b+1∣+∣1−b∣∣b∣成立，求负数x的最大值．第8页（共8页） 答案第一部分1.C2.B3.A4.B5.D6.C7.B8.D9.B10.A11.C12.B第二部分13.−8014.1615.13π16.π4第三部分17.（1）fx=32sin2x−12cos2x−sin2x−1=32sin2x−12cos2x−1=sin2x−π6−1.fC=sin2C−π6−1=0，所以sin2C−π6=1．因为2C−π6∈−π6,11π6，所以2C−π6=π2，所以C=π3．由余弦定理知：a2+b2−2abcosπ3=7，因sinB=3sinA，所以由正弦定理知：b=3a．解得：a=1，b=3．      （2）由题意可得gx=sin2x+π6−1，所以gB=sin2B+π6−1=0，所以sin2B+π6=1．因为2B+π6∈π6,13π6，所以2B+π6=π2，即B=π6，又m=cosA,32，n=1,sinA−33cosA，于是m⋅n=cosA+32sinA−33cosA=12cosA+32sinA=sinA+π6,因为B=π6，第8页（共8页） 所以A∈0,56π，得A+π6∈π6,π．所以sinA+π6∈0,1，即m⋅n∈0,1．18.（1）由各小矩形面积和为1，得0.010+a+0.020+0.025+0.030×10=1，解得a=0.015，由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在20−30箱，故S12>S22．      （2）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则PA=0.20+0.10=0.3，PB=0.10+0.20=0.3，所以PC=PAPB+PAPB=0.42．      （3）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，X∼B3,0.3，PX=k=C3k×0.3k×0.73−k，所以PX=0=0.343，PX=1=0.441，PX=2=0.189，PX=3=0.027，所以X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027EX=3×0.3=0.9．19.（1）连AC，ABCD是矩形，N为BD中点，所以N为AC中点．在△ACF中，M为AF中点，故MN∥CF．因为CF⊂平面BCF，MN⊄平面BCF，所以MN∥平面BCF．      （2）依题意知DA⊥AB，DA⊥AE且AB∩AE=A，所以AD⊥平面ABFE，所以DE在面ABFE上的射影是AE．所以∠DEA就是DE与平面ABFE所成的角．故在Rt△DAE中：tan∠DEA=DAAE=DA2=22，所以AD=2，DE=6．设P∈EF且AP⊥EF，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，A0,0,0，D0,0,2，E−2,2,0，C22,0,2，所以AD=0,0,2，AE=−2,2,0，DE=−2,2,−2，DC=22,0,0，设m=x,y,z，n=r,s,t分别是平面ADE与平面CDFE的法向量，令m⋅AD=0,m⋅AE=0,n⋅DC=0,n⋅DE=0,即2z=0,−2x+2y=0,22x=0,−2x+2y−2z=0,取m=1,1,0，n=0,1,1，第8页（共8页） 则cosm,n=m⋅n∣m∣⋅∣n∣=12，所以平面ADE与平面CDFE所成锐二面角的大小为π3．20.（1）由题意可知：2b=2，b=1，椭圆的离心率e=ca=1−b2a2=22，则a=2，所以椭圆的标准方程：x22+y2=1．      （2）设直线MN的方程为y=kx−2k≠0．y=kx−2,x22+y2=1,消去y整理得：1+2k2x2−8k2x+8k2−2=0．设Mx1,y1，Nx2,y2，则x1+x2=8k21+2k2，x1x2=8k2−21+2k2，k1+k2=y1x1−1+y2x2−1=kx1−2x1−1+kx2−2x2−1=k2−x1+x2−2x1x2−x1+x2+1=k2−8k21+2k2−28k2−21+2k2−8k21+2k2+1=0.所以k1+k2=0为定值．21.（1）fʹx=−ax+a+1−x=−x−1x−axa>0,x>0，①a=1时，fʹx=−x−12x≤0，所以fx在0,+∞递减；②00，解得：a1时，同理fx在1,a递增，在0,1∪a,+∞递减；      （2）因为fx≥−12x2+ax+b恒成立，所以alnx−x+b≤0恒成立，令gx=alnx−x+b，则gʹx=a−xx，所以gx在0,a上单调递增，在a,+∞上单调递减．所以gxmax=ga=alna−a+b≤0，所以b≤a−alna，所以ab≤a2−a2lna，令hx=x2−x2lnxx>0，则hʹx=x1−2lnx，所以hx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减，所以hxmax=he=e−elne=e2，第8页（共8页） 所以ab≤e2．即ab的最大值为e2．22.（1）曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=2+2sinθ（θ为参数），所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2−4y=0，所以曲线C的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ=0，即曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．      （2）设直线l的参数方程是x=1+tcosα,y=1+tsinαα为参数, ⋯⋯①曲线C的直角坐标方程是x2+y2−4y=0, ⋯⋯②①②联立，得t2+2cosθ−sinθt−2=0，所以t1t2=−2，所以∣MA∣⋅∣MB∣=2．23.（1）fx≤4，即∣x−1∣+∣x+1∣≤4，x≥1时，x−1+x+1≤4，解得：1≤x≤2，−11时，2x≥3，所以x≥1.5，所以x≥1.5．综上所述x≤−1.5或x≥1.5，故负数x的最大值是−1.5．第8页（共8页）