2017年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校高二理科下学期数学期中考试试卷

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1、2017年天津市宝坻一中、杨村一中、静海一中等六校高二理科下学期数学期中考试试卷一、选择题（共8小题；共40分）1.复数2i1+i2等于  A.2iB.−2iC.4iD.−4i2.正弦函数是奇函数，因为fx=sinx+1是正弦函数，所以fx=sinx+1是奇函数．以上推理  A.结论正确B.大前提错误C.小前提错误D.以上都不对3.当x在−∞,+∞上变化时，导函数fʹx的符号变化如下表：x−∞,111,444,+∞fʹx−0+0−则函数fx的图象的大致形状为  A.B.C.D.4.已知函数fx=ax−3a>0,且a≠1，fx0=0，若x0∈0,1，则实数a的取值范围是  A.0,1B

2、.1,2C.2,3D.3,+∞5.若∫1a2x+1xdx=3+ln2，则a的值是  A.6B.4C.3D.26.若函数fx=ax2x−1x>1有最大值−4，则a的值是  A.1B.−1C.4D.−47.设fx，gx在a,b上可导，且fʹx>gʹx，则当agxB.fxgx+faD.fx+gb>gx+fb8.将正奇数1，3，5，7，⋯排成五列（如下表），按此表的排列规律，2017所在的位置是  第7页（共7页）A.第一列B.第二列C.第三列D.第四列二、填空题（共6小题；共30分）9.设i是虚数单位，若1+ai2+i是纯虚数，则实数a的值是

3、 ．10.若函数fx=ex−axx>0有极值，则实数a的取值范围是 ．11.对任意的正数x的函数fx满足fxy=fx+fy，且f8=3，则f2= ．12.底面是正方形，容积为256的无盖水箱，它的高为 时最省材料．13.若曲线fx=ax3+ln−2x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 ．14.定义：如果函数y=fx在区间a,b上存在x1,x2a

4、8分）15.已知曲线C1:y2=2x与C2:y=12x2在第一象限内交点为P．（1）求过点P且与曲线C2相切的直线方程；（2）求两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）的面积S．16.设函数fx=ax3+322a−1x2−6xa∈R．（1）当a=1时，求曲线y=fx在点−1,f−1处的切线方程；（2）当a=13时，求fx的极大值和极小值．17.已知函数fx=x2−2lnx，gx=x2−x+a．（1）求函数fx的极值；（2）设函数hx=fx−gx，若函数hx在1,3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．第7页（共7页）18.已知数列8×112×32，8×232×52，⋯，8n2n−12⋅

5、2n+12，Sn为该数列的前n项和．（1）计算S1，S2，S3，S4；（2）根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．19.已知直线l:y=x+m与函数fx=lnx+2的图象相切于点P．（1）求实数m的值；（2）证明除切点P外，直线l总在函数fx的图象的上方；（3）设a，b，c是两两不相等的正实数，且a，b，c成等比数列，试判断fa+fc与2fb的大小关系，并证明你的结论．20.巳知函数fx=1x+a，gx=bx2+3x．（1）若曲线hx=fx−gx在点1,0处的切线斜率为0，求a，b的值；（2）当a∈3,+∞，且ab=8时，求函数φx=gxfx的单调区间，并求此函数在区间

6、−2,−1上的最小值．第7页（共7页）答案第一部分1.A2.C3.C【解析】从表中可知fx在−∞,1上单调递减，在1,4上单调递增，在4,+∞上单调递减．4.D【解析】本题以函数零点为载体，考查指数函数、对数函数的图象和性质．由fx0=0，得ax0−3=0，所以x0=loga3，又x0∈0,1，所以03．5.D【解析】原式=∫1a2xdx+∫1a1xdx=x21a+lnx1a=a2−1+lna=3+ln2，所以a=2．6.B7.C【解析】因为fʹx>gʹx，所以fʹx−gʹx>0，所以fx−gx在a,b上是增函数．因为afa−ga，

7、所以fx+ga>gx+fa．8.B第二部分9.−210.1,+∞11.1【解析】因为f8=f2×4=f2+f4=f2+f2+f2=3，所以f2=1．12.413.0,+∞14.32,3第三部分15.（1）由y2=2x,y=12x2得x=2,y=2,所以P2,2，所求切线方程为2x−y−2=0．      （2）由题知S=∫022xdx−∫0212x2dx=132x3202−16x302=43．16.（1）当a=1时，fx=x3+32x2−6x，fʹx=3x