2017年天津市和平区高三理科第二次质量调查（二模）数学试卷

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1、2017年天津市和平区高三理科第二次质量调查（二模）数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合A=xx2+x−2<0，B=xx>0，则集合A∪B等于  A.xx>−2B.x0

2、415.对于实数a>0，“1x1a”的  A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一个焦点为F3,0，过F点的直线l与双曲线E交于A，B两点，且AB的中点为P−3,−6，则E的方程为  A.x25−y24=1B.x24−y25=1C.x26−y23=1D.x23−y26=17.如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，BC=CD=2．若E，F分别是BC，AB上的点，且满足BEBC=AFAB=λ，当AE⋅DF=0时，则有  第7页（共7页）A.λ∈18,14B.λ∈14

3、,38C.λ∈38,12D.λ∈12,588.定义一种运算，a⊗b=a,a≤bb,a>b，若fx=2x⊗∣x2−4x+3∣，当gx=fx−m有5个不同的零点时，则实数m的取值范围是  A.0,1B.0,1C.1,3D.1,3二、填空题（共6小题；共30分）9.已知复数z=1−2i，则复数1z的虚部是 ．10.x−12x9的展开式中的常数项为 ．（用数字作答）11.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．12.已知抛物线的参数方程为x=2t,y=t2（t为参数），焦点为F，直线x+2y−12=0与该抛物线交于A，B两点，则△ABF的面积为 ．13.

4、设fx是定义在R上连续的偶函数，且当x∈0,+∞时，fx是单调函数，则满足条件fx=f1−1x+3的所有x之积是 ．14.已知fx是奇函数，当x<0时，fx=ln−x+2x，则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程是 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=2sinωx−4sin2ωx2+2+m（其中ω>0，m∈R），且当x=12时，fx的图象在y轴右侧得到第一个最高点．（1）求函数fx的最小正周期；（2）若fx在2,4上的最大值为5，最小值为p，求m和p的值．16.某商场搞促销活动，规定顾客购物达到一定金额可抽奖，最多有三次机会．每次抽中，可依次

5、分别获得20元，30元和50第7页（共7页）元的奖金，顾客每次抽中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可以选择继续抽奖，若有任何一次没有抽中，则连同前面所得奖金也全部归零，结束抽奖．顾客甲第一次、第二次、第三次抽中的概率分别为34，23，12，选择继续抽奖的概率均为12，且每次是否抽中互不影响．（1）求顾客甲第一次抽中，但所得奖金为零的概率；（2）设该顾客所得奖金总数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED=FB=1，M为BC的中点，N为AF的中点．（1）求证：AF⊥E

6、C；（2）求证：MN⊥平面AEF；（3）求二面角A−EF−C的余弦值．18.已知等差数列an满足a2=5，a5+a9=30，an的前n项和为Sn．（1）求数列an的通项公式及前n项和Sn；（2）令bn=1Snn∈N*,求数列bn的前n项和Tn．19.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0经过点1,32，且离心率为e=12．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右顶点为A，若直线l：y=kx+m与椭圆E相交于M，N两点（异于A点），且满足MA⊥NA，试证明直线l经过定点，并求出该定点的坐标．20.已知函数fx=ax−ax−2lnxa>0．（1）当a=2时，

7、求函数fx零点的个数；（2）讨论fx的单调性；（3）设函数gx=2ex，若在1,e上至少存在一个点x0，使得fx0>gx0成立，求实数a的取值范围．第7页（共7页）答案第一部分1.A2.B3.A4.C5.B6.D7.B8.A第二部分9.2510.−21211.10312.2513.−414.y=x+1第三部分15.（1）fx=2sinωx−4sin2ωx2+2+m=2sinωx−21−cosωx+2+m=22sinωx+π4+m,依题意，可知ω2+π4=π2，解得ω=π2．所以函数fx的最小正周期T=2πω=4．      （2）由（1）可得fx=22sinπ

8、2x+π4+m，因为x∈2,4，所以π