求极限的几种方法 毕业论文

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1、┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊求极限的几种方法摘要：极限一直是数学分析的一个基础内容，而对极限的求法可谓是多种多样，本文通过归纳和总结，罗列出一些常用的求法，主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法：利用两个准则求极限、利用极限的四则运算性质求极限、利用导数的定义求极限、利用两个重要极限公式求极限、利用级数收敛的必要条件求极限、利用单侧极限求极限、利用函数的连续性求极限、利用无穷小量的性质求极限、利用等价无穷小量代换求极限、利用中值定理求极限、利用洛必达法则求极限、利用定积分求和式的极限

2、、利用泰勒展开式求极限、利用换元法求极限.关键词：夹逼准则；单调有界准则；函数的连续性；无穷小量的性质；洛必达法则；微分中值定理；定积分；泰勒展开式一、引言：极限是数学分析中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态.早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载.例如，3世纪中国数学家刘徽的割圆术就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率的.随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出.但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑.直到19世纪，由柯西、

3、魏尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认.极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，数学分析中的基本概念都可以用极限来描述.在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念.极限的思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法.数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题(例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题),正是由于它采

4、用了极限的思想方法.极限是研究数学分析的重要工具，学好极限要从以下两个方面着手，1：考察所给函数是否存在极限.2：若函数存在极限，则考虑如何计算此极限.本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述.第13页共13页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊二、极限的求法：2.1：利用两个准则求极限.1、函数极限的迫敛性（夹逼法则）：已知为三个数列，且满足：（1）（2），则极限一定存在，且极限值也是，即.利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相

5、同极限值的数列和，使得.例[1]：求：解：易见：因为，所以由准则1得：2、单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一.利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限.例[1]：证明下列数列的极限存在，并求极限.证明：从这个数列构造来看显然是单调增加的.用归纳法可证.因为所以得.因为前面证明是单调增加的.两端除以得﹤因为则,从而，第13页共13页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊即是有界的.根据定理有极限，而且极限唯一.令则则因为解方程得所以2.2:利

6、用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算法则叙述如下：若,(1)(2)(3)若B≠0则：(4)（c为常数）上述性质对于总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商.通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算.首先对函数施行各种恒等变形.例如分子、分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分子、分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项等.例:求下列极限(1)(2)(3)(4)解：(1)第13页共13页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊

7、┊┊┊┊┊(2)=(3)(4)2.3:利用导数的定义求极限导数的定义：函数在附近有定义，，则，若极限存在，则称此极限值就是函数在点处的导数，记为，.在这种方法的运用过程中，首先要选好然后把所求极限表示成在定点处的导数.例:求解:2.4:利用两个重要极限公式求极限两个重要极限公式：第13页共13页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊但我们经常使用的是它们的变形：在这一类题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式.例[4]:求下列极限(1)(2)解:(1)所以(2)第13

8、页共13页┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊2.5：利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件:若级数收敛,则运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的极限.例[2]:求解:，