f---第六章定积分的应用郭长河

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1、第六章定积分应用第二节定积分在几何学上的应用1.填空题。(1)由曲线y二F与y=x+2所围平面图形的面积为舟=J（（x+2-x2）tZx(2)由曲线y=Inx,x=2与x轴所围平而图形的而积为[xdx=xx~—J-dx=21n2—1o(3)由双纽线r2=cos2&所围平面图形的面积为1。(4)由摆线兀=a(t-sinty=d(l-cos/)的一拱(0

2、。2.求曲线y=lnx在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与x=2和x=6及曲线y=lnx所围成的平而图形的而积最小，并求此最小而积。解：设切点为(x0,lnx0),切线y-Inx()=—(x-x0),y=lnx()-1+—x兀0兀0(•6116A(兀o)=(—-V+Inx0--lnx)cbc=一+41n%0-61n3-41n2J2X。164Az(x0)=一一+—由Az(x0)=0得兀()=4兀0兀o・•・最小面积为：A=4+41n2-61n3.3.求由曲线%2+y2=-2y绕y=2旋转一周所成旋转体的体积。解：宀(〉，+1)2=1y=±Jl

3、_〒_1V=2^［龙(-J1-〒-1-2)2-龙(Jl-/_i_2尸］心=2龙(1Z^-x2dx=24龙•彳=6龙2综合练习题1.过点P(1,O)作抛物线y=yfT^2的切线，该切线与上述抛物线及X轴所围成一平面图形,求此图形的面积及绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。7T2.设有一底半径为R的圆柱，被一与圆柱的底交成角a(Q

4、所成旋转体的体积为V=2龙『xfMdx,并利用此公式求由y=sinx(0W兀S龙)与x轴所围平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积。答案：1-解:设切点为(x0,y0)Jo=kg一1)儿=Jg-2解得:2Jxo—2兀0=3儿)=1.••切线为:y二丄(X-1)2.V=I*71_(x—I)?dx+f7l_(X_1)~—71(J无—2)2}dx——J14J246解：y=2^^R2-x2•^R1-x2tgadx=tga^(R2-x2)dx=^R^tga3.解：设分点为(%0?0)，对应的参数为G3『J(x丫+(_/)?〃/=J+()/)2力,3『2as

5、in彳df=J2asin彳dt/(>・•・3cos—2=cos—o2Zo12兀cos—=—51()=—22°3儿=0(1+*)=*4.证明：V=2龙［)xsinxdx=2龙(一兀cosx71严+cosxdx)=2龙(龙+sin兀)=2龙oJ()1.一物体按规律x=t3作直线运动，媒质的阻与速度的平方成正比(比例系数为£),计算物体由x=o移至X=d时，克服媒质阻力所作的功。解速度为v=—=3t阻力为f=-kv2=-9kt而r=所以/(x)=_9尬3,dt功元素dw=-f{x)dx=9kx3dx,所求的功为Ca-27w=9kx'dx=一ka3

6、.Jo72..在一倒立的等腰三角形水槽(上边长2加，腰长为3加，水槽长为20m)内装满水,若将水槽内的水全部吸尽，问要做多少功？解由水槽的上边长2加，腰长为3加，可得高为242m.取坐标系如图，A、B两点的坐标分别为(2“,0)、(0,1),过A、B两点的直线方程为歹=占(兀一2血)，功元素dw=2ydx•20gx=1oV2^(x2一2迈x)dx,所求的功为⑷=广10屁(兀2-2^2x)dx二罟g=522.7(Q).3.有一半径为lm的圆形薄板,垂直放在水中，圆板的圆心与水平面的距离为2m,求圆板一侧所受的水压力.解取坐标系如图，压力元素为dP=2

7、g(2-y)Jl-bdy所求的压力为F=[2g(2-y)^-y2dy=Jl-y。冗=—61.5伙N)43.设有线密度为常数P，半径为R的小圆环，一质量为m的质点P位于过圆环中心的垂直线上，且离中心的距离为a,求圆环对质点的引力.解取坐标系如图，由对称性可知，引力在兀轴方向、歹轴方向上的分量为零，引力元素为GmpRdz?a?+R2，在z轴方向上的分量为GmpRadd(a2+R2yu_『2龙GmpRad_27iGmpRa3+/?2)2(亍+疋严综合练习题1.用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击打笫一次时，将铁钉击

8、入木板1cm,如果铁锤每次打击铁钉时所做的功相等，问铁锤击打第二次时，铁钉又击入多少？解设木板对铁钉的阻力为R,则铁钉击入