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1、第六章3•双曲线及其标准方程1、复习椭圆的定义、焦点、焦距、标准方程的概念.平面内与两个定点片，尸2的距离之和等于常数（人于1许厲
2、）的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。椭圆标准方程：2222（1）二+―=1・（2）一+二=1；其屮/二。2+戸・a2h2a2b22、如果把椭圆定义屮“平面上到两个定点的距离的和"改为“平面上到两个定点的距离的“差”，则结论如何？一、讲解新课1、双曲线的定义定义：平面上与两个定点许、竹的距离的差的绝对值是常数（小于闪则）的点的轨迹叫做双曲线俩定点叫做焦点俩定点间的距离叫做焦距.四、双曲线的标准方程取过焦点FxF2
3、的直线为x轴，线段FxF2的垂直平分线为y轴。设P（xj）为双曲线上的任意一点,
4、F】F2
5、=2c（0）.则：F］（-c,0）F2（c,0）,又设M-UFhF2距离Z差的绝对值等于2a（常数）:.P={p^PF}-PF2=±2a}又•.•阳=J(x+C)2+)，2,J(x+c)2+),2—J(x_c)2+),2=±2a,化简，得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),由定义2a<2c:.c2-a2>0令:.c2-a2=b2代入，得:b2x2-a2y2=a2b2,22两边同除/戸得：此即为双曲线的标准方程。a2b2它所表示的双llll线的焦点在兀轴上，焦点是F
6、](-c,0)F2(c,0),其中c2=a2+b2若处标系的选収不同，可得到双曲线的不同的方程，若焦点在y轴上，则焦点是片(O,—c)H(O,c),将村互换,得到2?耳-二=1，此也是双Illi线的标准方程。a2b2所以双1111线的标准方程为：=l(Q0,/?>0,焦点在y轴上2,2,22务一于农>00>0焦点在X轴上)或计-倉二、例题讲解【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为Fx(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到F}(-5,0),F2(5,0)的距离之差的绝对值等于6,求双曲线标准方程.解：因为双Illi线的焦点在兀轴上，所以设它的标准方程为22二一与=1a>0,b>0
7、)・a2h2V2a—6,2c=10tz=3,c=5/.=52—32=16・22所求双Illi线标准方程为一—L=1・916【例2】已知双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，J1点双曲线上两点£的坐标分别为(3,-4a/2),
8、-,5求双曲线的标准方程.解：因为双Illi线的焦点在y轴上，屮心在原点，所以设所求双Illi线的标准方程为a232士一9•討25V_f^V=1-4V2)232,円2S2匸'—=16/2b2解关于亠,丄的二元一次方程组，得-4=—,4=丄/b2a216沪922所以，所求双曲线的标准方程为：丄一-—=lo1692【例3】已知B(-5,0),C(5,0)是三角形A
9、BC的两个顶点，且sinB-sinC=-sinA，求顶点5A的轨迹方程.解:由正弦定理得:AC-AB=-BC=6,乂IAC
10、>AB,600>0),过左焦点Fi与左支相交的弦AB的长为m,另一a2b2个焦点为F2,则AABF2的周长为(4a+2m).解：定义法.【例5】已知要个定圆O),02,它们的半径分别是1和2,且
11、
12、O]O2
13、=4,动圆M与圆0】相内切，又与圆02外切，建立适当的直角坐标系，求动圆圆心的轨迹方程，并说明轨迹图形.解：设动圆半径为r,则
14、O】M
15、A
16、MO2HMO]
17、=3,故点M的轨迹是以O】O2为焦点，实轴长为3的双曲线左支，且c=2,。弓故所求双曲线的方程是：寻+写=1（%<0或©成x<-
18、）.44三、课堂练习1求心’"焦点在“轴上的双曲线的标准方程。【答案】話一匸】222求曲,经过点（2,6焦点在y轴上的双曲线的标准方程。【答案】詁詁】3.证明：椭圆9/+25于=225与双曲线x2-15y2=15的焦点相同。22【答案】9宀25宀225=>余+亍1"(±4,0),Z5宀X》
19、『1"(±4,0)4・若方程x2sin^z+y2cosa=1表示焦点在y轴上的双曲线，则角Q所在彖限是（）A、第一象限B、笫二象限C、笫三象限D、笫I丿L
20、象限【答案3D.X2sina+y2cosa=1表示焦点在y轴上的双曲线fsincr<0…八二>{=^>oreIV,所以选D.5.[cosa>02,25.设双曲线話—冷-=1上的点P到点（5,0）的距离为15,则P点到（-5,0）的距离是（）A.7B.23C.5或23D.7或23【答案】D.
21、d—15
22、=2a=8=>
