第六章第一节数列的概念及简单的表示方法

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1、第一节数列的概念及简单的表示方法第六章数列考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.数列的概念.2.数列的表示.3.递推关系.1.了解数列的概念和儿种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2•了解数列是自变量为正整数的一类函数.考查通项公式的题常用递推关系或实际背景捉供条件求通项公式，或考查通项所应满足的性质；考查刖n项和则垂在考查an与SnZ间的关系，由S“的关系转化成禺的关系.预测高考对本节内容主要考查已知数列的递推关系式求数列的通项公式，己知Sn与&的关系求&等•有时也结合函数的性质考查数列的单调性、数列的最大值或前n项和的最人值等问题.知识点数列的概念1.数列的

2、定义按照—一定顺序—排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列Hn+1>&n其中nWN*递减数列Hn+1〈dn常数列為+i=a“3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分別是列表法、图象法和通项公式.4.数列的通项公式如果数列｛缶｝的第n项缶与nZ间的函数关系可以用一个式子a„=f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.5.递推公式如果已知数列｛an｝的—第一项(或—前几项」,且任何一项禺与它的前一项an-1(或前儿项)间的关系可以用一

3、个式了来表示，即an=f(an—1)或an=f(an—1,an—2),那么这个式了叫做数列｛an｝的递推公式.6.数列的前n项和0与通项缶的关系(1)Sn=ai+a2+•••+an；S（77=1）,（2）an=、St—Sn-（刀22）.【名师助学】1.本部分知识可归纳为两类特殊问题：（1）解决与数列周期性有关的题目，关键是找岀数列的周期•（2）求数列最大项的方法：①判断⑷的单调性；②解不等式组、求数列最小项依此类推.三种方法:由递推式求通项/的方法:（1）an+—an=f（n）型，釆用累加法;（2）—=/（/?）型，采用累乘法；⑶如尸皿+gSHO,1,qHO）

4、型，采用待定系数法转化为等比数列解决.2.求数列通项或指定项.通常用观察法（对于交错数列一般用（一1广或（一1）”+1来区分奇偶项的符号）；已知数列屮的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.3.强调与Sn的关系:S1（77=1）,aan=,522）.方法1由递推关系式求通项公式由递推公式求数列通项的常用方法⑴形如昂+1=禺+f（/?）,常用累加法.即利用恒等式an—+仏―昂）+（$3—型）4卜（昂一弘-J求通项公式.⑵形如a+=M3,常可采用累乘法，即利用恒等式……旦求通项公式.3323fi-⑶形如a+=ba+d（其中方，〃为

5、常数，狞0,1）的数列，常用构造法.其基本思路是：构造^+x=b^n+x）（其中无=$7），贝>JU+^｝是公比为方的等比数列，利用它即可求出b—⑷形如歸=严二5,q,厂是常数）的数列，将其变形为丄=仝・丄+20禺十厂<3/）+1panp若P=r,则｛丄｝是等差数列，且公差为纟可用公式求通项；anp若pHz•，则采用（3）的办法来求.⑸形如盼2=pa卄i+妲（p,<7是常数，且p+q=1）的数列,构造等比数列.将其变形为亦2—日”+i=(—q)•(%h—日”)，贝0｛an~日/?eN4)是等比数列，且公比为一。可以求得/一心=A/?),然后用累加法求得通项.【例

6、1］(1)(2014・山东荷泽高三期末检测)已知数列｛an｝中，al=l,(n+l)an=nan+l,则数列｛an｝的通项公式an=.(2)(2014•安徽合肥一模)已知数列｛an｝满足al=l,a2=4,an+2+2an=3an+l(nGN*),则数列｛an｝的通项公式an=.解析⑴由(刀+1)乩=加卄1,可得仝^=出丄.a,>n、［/...

7、ndn—in13.»...<-»_、m.十，_亠an•寸，=,=,…，一=t>—=2.将以上各式累乘求得—=门,•・白”atl-—1an-2n—2边20日i=刀，而n=l也适合..I数列的通项公式为an=n.(2)ill

8、an+2+2an—3an+1=0,得an+2—an+1=2(an+1—an),•I数列｛an+1—an｝是以a2—al=3为首项，2为公比的等比数列,/.an+1—an=3・2n—1,・・・n$2时，an-an-l=3・2n-2,…，a3~a2=3・2,a2~al=3,将以上各式累加得an—al=3・2n—2+・・・+3・2+3=3(2n—l—l),Aan=3・2口一1一2(当n=l时，也满足).答案(l)n(2)3・2n-l-2［点评］解答本题(1)的关键是将(n+l)an=nan+1变形为=,再用累乘法求解；解答本题⑵的关键是将an+2+2an=3an+l变