精品数学讲义—抽象函数

《精品数学讲义—抽象函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、抽象函数题型复习专题抽象函数：抽彖函数也就没有具体的解析式，一般只告诉函数的映射关系，或者可以归结为含有记号=/(%)”的问题，具体总结为以下几种类型。(一)抽象函数与定义域1、已知/(兀)的定义域，求/(g(x))的定义域例1：设函数/(%)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域.(1)函数/(x总结：已知/(g(x))的定义域，求/(/心))的定义域.例3：函数j=/(x+l)定义域是[—2,3],则y=f(2x-l)的定义域是()A.0,-B.[一l,4]c.[_5,5]D.[-3,7]总结：运算型的抽彖函数.(1例4：已知函数/(兀)的定义域是

2、(0,1],g(x)=/(x+o)y(x-d),——

3、)=2,则/(0)=_=—/(looo)=一练习：1.设两数/(x)(xeR)为奇函数，.f(l)=加(x+2)»(x)+/(2),则几5)=()乙A.0B.1C--D.52总结：(二)抽象函数与解析式X例6：(换元法)已知/(^)=2x+l,求/(Q.兀+1例7：(凑合法)已知/(兀+丄)=/+4,求f(x).例&(待定系数法)已知/(X)二次实函数，且/(x+1)+/(x-1)=x2+2x+4,求/(x).例9：(奇偶性)已^y=/(x)为奇函数，当x＞OHt,/(x)=lg(x+l),求/(兀).练习：1.己知/(2兀+3)=8兀+7,求/(%).2

4、.已知)心/(兀)为偶函数，且/(0)=0当兀＞0时，/(兀)=兀，求/(兀).总结：(三)抽象函数与对称性1＞若函数y=/(兀)满足/@+兀)=代b-“,则函数y=/(x)的图像关于肓线*凹对称；22、若函数y=/(x)满足/(x)=f(2a-x)或/(x+d)=/(a-x),则函数y=/(x)的图像关于直线兀=G对称;3、若函数丁=/(%)满足/@+兀)+/(/?—兀)=(：，则y=/(x)的图像关于点凹£)成屮心对称图形;2‘2丿4、曲线/(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f{2a-x,2b-y)=0；y=Cla=—+5、形如),=年#

5、(c・HO,ddHbc)的图像是双Illi线，由常数分离法—z-X-矢廿：对称屮，L?疋点acx+—Vc丿6、设函数y=/(兀)定义在实数集上，则y=/(x+a)与)；=/(/?—兀)的图像关于直线x=—对称;27、若函数y=/(%)有反函数，则y=/(d+x)和y=/"(x+a)的图像关于直线y=x+a对称.例10：已知函数丿=门兀)满足f(x+a)=f(b—x),则/⑴关于对称.练习：1.函数y=f(x+1)与函数y=/(3一x)关于对称.2.已知/(l-%)=l-/(x),则函数关于对称.总结：(一)抽象函数的单调性抽象函数的单调性关键是抽象函数关系

6、式的运用，同时，要注意选择作差还是作商，这一点可观察题意中/(兀)与0比较，应作差；与1比较，应作商.例11：函数f(x)对任意x、yWR,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,判断并证明f(x)在区间(―,+8)上的单调性.例12：定义在R上的函数y=f(x),f(O)HO,当x〉0时,f(x)>l,且对任意的a、bWR,有f(a+b)=f(a)f(b),证明f(x)是R上的增函数.练习：1.设f（x）定义在R上,对于任意a、beR.,有f（ab）=f（a）+f（b）当xe（1,+8）时，f（x）<0,证明f（x）在（1,+8

7、）上是减函数.总结：（六）抽象函数的奇偶性奇：/3）+/（—兀）=。偶：/（兀）一/（—兀）=0例13：如果/（x）是奇函数，则下列说法正确的是如果/（x+1）是奇函数，则下列说法正确的是①-f（x+1）=兀+1）②-/（兀+1）=/（-兀-1）练习：1.设/（X）的定义域为R,对任意的Xj,x2G/?,tli有/（州+兀2）=/（州）+.广（兀2）成立，则/（兀）的奇偶性是什么？2.设/（X）的定义域为{xx工0},对任意非0的X,,x2G/?，恒有『（兀1•兀2）=/（兀1）+/（兀2）成立，则/⑴的奇偶性是什么？3.设/（%）的定义域为R,对任意的

8、x},x2eR,恒有/、（旺+兀2）+/（州—兀2）=2/（xJ/