资源描述：
《线性代数-本科教材-第6章习题答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、习题六(I类)1.写出下列二次型的矩阵表示：(1)/(七y)=ax1+2bxy+cy2(3)/(xpx2,x3)=3^!2-4x,x2+2石兀3-5x2x32.求下列矩阵对应的二次型矩阵及二次型的秩:r102、‘192、⑴-2-32(2)-12-12<0-80；<403,3•设二次型/(xpx2,x3)=5x12+5x22+cx^-2x{x2+6x1x3-6x2x3的秩是2,求参数c•4.设A,B是同阶实对称阵，已知A与B相似，证明A与3合同.举例说明反之不成立.5.设A是〃阶可逆对称矩阵，证明A"与A合同.6.用正交变换把下列二次型化成标准形
2、，并写出所作的变换.(l)/(xpx2,x3)=X]2-4x{x2+4兀內+4x；+4x1一8疋“(2)/(xpx2,x3)=2xj2+3x；+4吃兀3+3尢;7.用配方法把下列二次型化成标准形，并写出所作的变换.(2)/(xpx2,x3)=xIx24-X]^+x2x38.用初等变换法下列二次型化成标准形，并写出所作的变换.(1)/(xpx2,x3,x4)=x12+兀；+兀；+£+2兀內一2占竝一2吃兀s+2兀3兀(2)/(xpx2,x3)=2x)2+4兀“2一4西风3+5兀;-Sx2x3+5x；9.求下列二次型的最值(1)/(xpx2,x3)
3、=+2xtx2+2兀；+4x2x3+4兀;(2)/(xpx2,x3)=X]X2+x2x310.求二次型f（x{,x2,x3）=xxx2+2x2x3的秩、惯性指数、符号差11.判断下列二次型的正定性(1)fxi,x2,x3)=2x^+5%2+5#+4X]X2-4x)x3-8^2^(2)/(%,，兀2,“)=-2^2一6%；一4耳+2xtx2+2xix3（3）/（旺,兀2,兀3）=彳+球+14球+7球+6兀內+4西為一心压8.f取何值时下列二次型是正定的？（1）/（兀］，兀2，兀3）=彳+兀；+5疋+2优內一2兀內+4%2冯（2）/（兀］,兀2，
4、兀3）=5彳+兀；+/兀；+4西兀2—2西乳3—2兀2兀3ron9.设矩阵A二020,B=（£E+A）2,求对角阵/I,使B与/I相似，并求R为何J0b值时，3为正定矩阵.10.设n阶矩阵A为正定矩阵，试证A"也是正定矩阵.11.已知4,B都是正定阵，证明:也是正定阵的充分必要条件是AB=BA.12.设A为/?阶正定矩阵，证明A+E的行列式大于1・(II类)1.若二次型/=彳+£+5疋+2加
5、尤2-2占尤§+4勺兀3是正定的，贝I」（）44A.一一<2<0B.—Iv/lvlC.一一<2<0D.-1<2<1552.〃阶实对称矩阵A正定的充要条件是
6、（）A.对于任意非零实数旺,兀2,…，兀，有（占,兀2，・・・，£）人（石,兀2，・・・，兀）'>0B.
7、A
8、>0C.A的各阶顺序主子式全大于（）D.A的特征值非负3.设2是正交矩阵A的一个实特征值，则（）A.22=1B.2=1C.2=-1D.2=04.二次型^x2+-3x2x3的正惯性指数为（）A.0B.1C.2D.31.二次型f=-2xj-4x(x2-4x2x3的秩为()A.0B.1C・2D.32.二次型/=5#+5xj-2占卷+6无內一6/2不的秩为2,贝>Jc=()A.—3B.3C.5D.—57.己知二次型/=2兀f+3x22+3x32
9、+2ax2x3(a>0)通过正交变化成标准型/=另2+2旳2+5”2，则口=8.设二次曲面的方程axy+2xz+2byz=1(/X>0）经正交变换y=Q,化成kz>&丿孑+〃2_2$2=],贝ij,b=9.己知二次型/=-X）24-3兀；+3%3+Cix2x3（a>0）通过正交变换成标准形kyj+2y；+,ci—9k—•10.设A正定，B为半正定，证明A+B正定.11.设A为〃阶实对称阵，且满足屮_64+4£=0,证明4为正定阵.12.设有”元实二次型/（占,兀2,…，兀“）=（兀
10、+G“2）2+（兀2+。2冯尸+…+（£一1+G”—/J+（
11、£+4內尸其中q（i=l,2,・・・,/l）为实数,试问：当坷卫2,…,G”满足什么条件时，二次型了（西，兀2,…忑）为正定二次型？答案(I类)/\(ax'1・⑴/(xty)=(x,y)3-21(2)/(xpx2,x3)=(xpx2,x3)4.（3）/（若丿2，兀3，兀）=（心兀2，兀3，兀）1-11、<143]2.(1)A=-1-3-3，心1)=2；(2)A=42-6'-30丿<3-63丿3.3,r(A)=3丿2证明：因为A,B均为实对称阵，故均可对角化，且存在正交阵只Q使P-'AP=4,QlBQ=A2•因为A与B相似，所以A、B的特征值相
12、同，适当排列P的列，可使4=4，于是P-]AP=Q^BQ,QP~lAPQ^=W^AW=B,其中W=PQ^.因为只Q均为正交阵，故W也是正交阵，所以W"
