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线性代数总结-2

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1、⑨心±3)W心)+心)max{心),r(B)}Wr(A,B)W心)+r(B)'A0、f04、&B丿2S⑩厂s(4)+")&B丿oAx=0有无穷多解切为方阵时》

2、4

3、=0<=>表示法不唯一0可由es,…,%线性表示o加=0有解o厂(人)=厂(不0)<=>…,勺线性相关oAr=0有非零解克莱姆法则Ax=0有唯一组解怕为力阵时工0=><=>表示法唯一=>勺线性无关O心=o只有零解教材72讲义87or(A)丰r(A:/?)0不可由0],禺,…,%线性表示o你=0无解r(A)+l=r(A:/7)Ax=0有无穷

4、多解(二)其导出组有非零解Ax=^唯一解(二)其导出组只冇零解向量式

5、召©]+x2a2+•••+xnan=0a2■■•a2…dja22…a2n••••••,兀二/兀1、兀2■■■,0二h2■■•aam2mn/3,”丿线性方程组的矩阵式Ax=p矩阵转置的性质:(AT)T=A(ab)t=bW(kA)T=MrKI=H(A±B)t=at±bt(A~l)T=(ATy}(Ary=(A*)r矩阵可逆的性质:(A-1)-1=AQ4B)t=BW(M)_,"A"八诃(A土"h川土B"(A-1/=(屮)t=A“伴随矩阵的性质:(Ay=An~2A(A

6、ny=b^a*(kA)*=kn~lA*A-=14,(A±B)A*土B*(小=(才尸=询厂(”)=«n若r(A)=n1若心)=〃-10若r(A)

7、A

8、

9、A土B

10、h

11、A田B

12、AA^=A^A=AE(无条件恒成立)(1)?7],〃2是Ax=o的解,"1+7也是它的解⑵77是加=o的解,对任意切也是它的解"、升如线性方程组解的性质:⑶771,〃2,・・・,%是心=。的解,对任意R个常数'人力王一入,久2,…人,入小+人花+入皿也是它的解<⑷y&Ax=0的解,〃是其导出组人兀=o的解,Y+〃是山=那J解(5

13、)了儿仏是似二型勺两个解昇71-“2是其导出组Ax=o的解⑹7是Ax=0的解,则7也是它的解O77]-%是•其导岀组Ax=o的解(7)“I,%,…,勿谢x=0的解,则人U+/^2〃2+人:%也是=0的解人+乙+心=1入叶]+入〃2+心%是Ax=0的解<=>人+易+心=0J设A为mxn矩阵,若r(A)=mr(A)=r(A:J3)=>Ax=0—定有解,当m方程个数向量维数未知数的个数<向量个数,则该向量组线性相关.加是"A)和厂(不0)的上限.J判断a,z,〃$是Ax=o的基础解系的条件:①77

14、,〃2,・・・

15、,〃£线性无关;②77],772,…,77$都是&=O的解;③s=n-r(A)=每个解向量中自由未知量的个数.V一个齐次线性方程纽的基础解系不唯一.J若V是Ax=fi的一个解,刍念,…,.是Ar=o的一个解线性无关VAx=o与Bx=o同解(4,3列向量个数相同),则:①它们的极人无关组相对从而秩相等;②它们对应的部分组有一•样的线性和关性;③它们有相同的内在线性关系.V两个齐次线性线性方程组Ar=o与Bx=o同解Or=r(A)=r(B).VBJ%:V两个非齐次线性方程组山=0与Bx=y都冇解,并H.同解o广“=r(A)=r(B).

16、b'YV矩阵A„,xwBlxtl的行向量组等价o齐次方程组Ax=oUBx=o同解oPA=B(左乘可逆矩阵P);〃教材⑹矩阵4,z与dx“的列向量组等价oAQ=B(右乘口J逆矩阵Q)・V关于公共解的三中处理办法:①把(I)与(II)联立起来求解;②通过仃)与(叮)各自的通解,找出公共解;当(I)与(II)都是齐次线性方程组时,设“I,%,%是⑴的基础解系,%,“5是(ID的基础解系,则⑴与仃I)有公共解O基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即:g,%,%)=5,“2,仏;CM+C27]5)当(1)与(11)都是非齐

17、次线性方程组时,设§+cp7

18、+C2〃2是⑴的通解,冬+。3〃3是(ID的通解,两方程组有公共解O歹2+c»3“3一$1可由〃],“2线性表示.即:厂(〃1,〃2)=厂③设(I)的通解已知,把该通解代入(ID中,找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。杨^准正交基n个〃维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.向量Q二(吗卫2,…,dj与0=(勺,E,…,化)'的内积川(a,0)=工%=+勺化+•••+吸/=1Q与0正交©,0)=0.记为:Q丄0向量&二@

19、,色,…,d”),的长度a==£a:=Jaj+

20、a;+•••+©;r=lQ是单位向量a=Jd=i.即长度为1的向量.V内积的性质:①正定性:(a,Q)nO,_iL(Q,Q)=Ooa=o②对称性:(a,0)=(0,a)③双线性:(Q,A+02)=a0J+a02)(Q

21、+勺,0)=G,

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