线代复习提纲88883

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1、第一部分：基木耍求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性农示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极人无关组，并将多余向量用极人无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量;讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩

2、阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式1.行列式的定义用n人2个元索aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所冇可能的取自不同行不同列的n个元索乘积的代数和;（2）展开式共彳jn!项，其中符号正负各半；2.行列式的计算一阶

3、a

4、=a行列式，二、三阶行列式有对角线法则;N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元索，其余元索化为0,利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形

5、行列式的值等于主对角线上元素的乘积；<2）行列式值为0的儿种情况：I行列式某行（列）元索全为0；II行列式某行（列）的对应元素相同；HI行列式某行（列）的元素对应成比例；IV奇数阶的反对称行列式。二.矩阵1.矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2.矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的儿个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB=BA,称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法-•般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵,则

6、AB

7、=

8、A

9、*

10、B

11、：@

12、kA

13、=kAn

14、A

15、3.矩阵的秩（1）

16、定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不川定义求，而川下面结论:矩阵的初等变换不改变竝阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的炬阵称为行阶梯阵)°求秩：利川初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。1.逆矩阵(1)定义：A、B为n阶方阵，若AB=BA=I,称A可逆，B是A的逆矩阵(满足半边也成立)；(2)性质：(人8)八・1=但心1)*3心1),(A')A-1=(AA-1)'；(AB的逆矩阵’伤赠的)(注意顺序)(3)可逆的条件：①

17、A

18、*0：②r(A)=n;®A->I;(4)逆的求解伴随矩阵法AA-1=(

19、1/

20、A

21、)A*；(A*A的伴随矩阵~)②初等变换法(A:I)・>(施行初等变换)(I:AA-1)2.用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B,贝

22、JX=(AA-1)B；XB=A.则X=B(AA-1)；AXB=C,则X=(AA-1)C(BA-1)三、线性方程组1.线性方程组解的判定定理：⑴r(Azb)*r(A)无解；(2)r(Azb)=r(A)=n冇唯-•解；(3)r(Azb)=r(A)

23、A忡0只有零解(2)

24、A

25、=0有非零解1.齐次线性方程组

26、(1)解的情况：r(A)=n,(或系数行列式DwO)只冇零解；r(A)(3)求解的方法和步骤：①将增广矩阵通过行初等变换化为放简阶梯阵；②写出对应同解方程组；③移项，利用H由未知数表示所冇未知数；④表示出基础解系；2.非齐次线性方程组（1）解的情况:利川判定定理。（2）解的结构：X=u+clal4-c2a2+...+Cn-rQn-ra（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。（4）唯-解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变

27、换法）。四、向量组1.N维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2•向量的运算：（1）加减、数乘运算（与炬阵运算相同）；（2）向量内积a'B二albl+a2b2+…+anbn；（3）向量长度

28、a

29、=Va,a=V（alA2+a2A2+...+anA2）（V根号）（4）向量单位化（1/

30、a

31、）a；(1)向量组的正交化(施密特方法)设al,a2,an线性无关，贝ijpi=al,P2=a2-邛1，P3=a3-*pl-(a3,p2/p2,p2)*p2,1.线性组合(1)定义若B二klal+k2u2+・・・+knan,则称B是向量组al,a2,an的

32、一个线性组合，或称B可以用向量组al,a2,an的一