教案高教版（数学）第三册——1314微分(中职教育)

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1、教学目的和要求：（1）、掌握微分的概念，理解微分的分析和儿何意义。（2）、知道微分与导数的界同，及其不同功用。（3）、熟练计算某些简单初等函数的高阶微分。（4）、应用己知的简单近似公式会计算某些数的近似值。教学重点，难点：微分的概念、儿何意义及微分在近似计算中的应用教学内容：一、微分的定义1、引言先考察一个具体问题，然后再推出一般情况。设一边长为x的正方形，它的面积5=x2是％的函数，若边长由％增加心，相应地正方形面积的增量AS=（兀°+Ar）2-Xq=2兀0心+（Ax）20△S由两部分组成：第一部分2X（）心（即图5（中

2、的阴影部分）；第二部分（山）2是关于心斗Ax1;力AX2图5—8的高阶无穷小量，由此可见，当给％—个微小增量心时，III此引起的正方形而积增量山可以近似地用第一部分（2的线性部分2兀。心）来代替，由此产生的误差是一个关于心的高阶无穷小量，也就是以心为边长的小止方形面积。2、微分的概念定义1设函数y=f^定义在点观的某邻域〃（心）内，当给可一个增量心,X。+山e〃（兀0）吋，相应地得到函数的增量为Ay=/(x0+Ax)-/(x0)如果存在常数a,使得△>‘能表示成Ay=AAx+o（Ax）⑴则称函数/在点兀。可微，并称（1）式

3、中的第一项AAy为/在点兀。的微分，记作创口广AAx或df（x）x=Xo=AAx⑵注1微分的分析意义：函数的微分与增量仅相差一个关于山的高阶无穷小量，由于dy是心的线性函数，所以当a时，也说微分〃y是增量的线性主部。3、可微与可导的关系定理5.10函数/在点观可微的充要条件是函数/在点不）可导，而（1）式中的A等于广（兀0）。证［必要性］若了在点"）可微，由（1）式有型=4+。（1）O取极限后有/'（x（））=lim-^=lim（A+o（l））=AAx->0xMtO这就证明了/在点心可导H.导数等于A。L充分性1若/在

4、点兀。可导，则，在点％的有限增量公式Ay二厂（兀0）心+。（心）表明函数增量可表示为心的线性部分（广（兀。）心）与较心高阶的无穷小量z和，所以f在点X。可微，且有t二广（观）心图5-9注2微分的几何意义：如图5・9,当自变量由兀。增加到兀。+丛时，函数增量®=几兀0+37（兀（））=陀，而微分则是在点P处的切线上与心所对应的增量dy=广(x°)心=RQ并且Ay-dyQ'QQ'Qlim—=lim三三=广(兀())lim三三=()HuAxXT®PRXT心RQ所以当广(x°)hO时，lim進=0心必RQ'这表明当xT兀0时线段Q

5、'Q的长度比RQ’的长度要小得多。若两数）'=/（兀）在区间上每一点都可微，则称/为/上的可微函数，函数）=/（力在I上任一点兀处的微分记作dy=广（兀）心,,（3）它不仅依赖于心，而几也依赖于X,特别当y二兀时，dy皿亠,这表示自变虽的微分必就等于自变量的增量，于是可将（3）式改写为(4)dy=fx)dx即函数的微分等于函数的导数与口变量微分的积，比如d(xa)=ax"—dx;d(sinx)=cosxdx;d(lnx)dxx如果把（4）式写成广心，ax那么函数的导数就等于函数微分与白变量微分的商，因此，导数也常称为微商

6、，在这以前,dy_我们总把必作为一个运算记号的整体来看待，有了徽分概念Z后，也不妨把它看作一个分式了。二微分的运算法则由导数与微分的关系，我们能立刻推出如卜.微分运算法则：1d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv{x)2d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)d'u(x)'_v(x)du(x)-u(x)dv(x)3.U(x)丿v2(x)'4.d(.f。g(x))=fu)gx)dx,其中u=g(x)在上述复合函数的微分运算法则4中，由于du=gx)dxf所以它也可写作dy=fu)du这与

7、(4)式在形式上完全和同，即(4)式不仅在兀为自变罐时成立，当它是另一可微函数的因变量吋也成立，这个性质通常称为一阶微分形式的不变性。例]求“dnx+cos/的微分解dy=d(Lhix+cosx~)=d(x~lnx)+d(cos对)_lnxd(x2)+x2d(Inx)+d(cosx2)a_x(2lnx+l-2sinx)dx口“3+〃)例2求)'="的微分解由-•价微分形式不变性，可得dy=£"n^M)d(sin(ax+b))=严畑")cos(Q+b)d(ox+b)=6Zesin(ax+/»COS(6ZX+/?)JX口三高阶

8、微分我们知道函数)‘=f(兀)的一阶微分是dy=f(xf)dx,其中变量兀和必是相互的独立的.现将一阶微分只作为兀的函数，若/二阶可导，那么。对自变量％的微分d(dy)=d(fXx)dx)=fx)dx-dx=fx)(dx)2或写作d2y=fx)dx2称它的函数/的二阶微分.问题：试分析d»,d2x