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1、《一元二次方程的解法（三）一公式法，因式分解法》—知识讲解（基础）撰稿：李爱国审稿：杜少波【学习目标】1•理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程:2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想.【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程0吋,原方程有两个不等
2、的实数根升*-b士嗣-心②当A=iJ-4a7=ont,原方程有两个相等的实数根％=«,=—2a③当&=4>a-4<*7<0时,原方程没冇实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于X的一元二次方程&+&T+C=0（«*0）的步骤:①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、C的值（要注意符号）；③求出*a-4«的值;④若心力，则利用公式j=7土求出原方程的解；若4ac<0,则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非戢简单的，一定耍注意方法的选择.⑵-元二次方程宀如20（“。），川配方法将其变形为：（“冷―
3、晋①当△=戻-4处>0时，右端是正数•因此，方程有两个不相等的实根:-b+y/lf^-Aac2a②当△二戸一4心、=0时，右端是零•因此，方程有两个相等的实根：x12=-—2a①当△二，-4dcv0时，右端是负数.因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程右边化为0；(2)将方程左边分解为两个一次式的积；(3)令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等.要点诠释：(1
4、)能用分解因式法來解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积；(2)用分解因式法解一•元二次方程的理论依据：两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一•个等于0；(3)用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同吋除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程¥1.用公式法解下列方程.(1)x2+3x+1=0；(2)2x2=4x-l:(3)2x2+3x-l=0.【答案与解析】(1)a二1,b二3,c=l._~b±7b2-4ac_-3±V52a2._3+V5_3_旋…X：=,X2
5、.22(2)原方程化为一般形式，得2x2-4x+=0.Ta=2,b=-4,c=1,b2-4ac=(-4)2-4x2xl=8>0.._4土2迈亠迈llnV2,,V22x22
6、2「2(1)Va=2,b二3，c=-1.-.b2-4ac=17>0_13±Vn■■x4._~3+V17「_3_V17••Xl,X2.44【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对3、b、C的确定.用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式;(2)确定a,b,C的值并计算b2-4ac的值；⑶若b2-4ac是非负数，用公式法求解.举一反三：【变式】用公式法解方程
7、：3x=4x+l【答案】原方程化为一般形式，得3x2-4x-1=0.Ta=3,b=-4,c=-l,・・・b2-4ac=(-4)2-4x3x(-1)=28X).4±a/282±>/7Hn2+V72-^72x33X―=>即Xi—，Xj—2■3・用公式法解下列方程：(l)x2-4V3x+10=0；(2)(x+l)(x-l)=2V2x；(3)2x2・2迈x・5二0【思路点拨】针对具体的试题具休分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.【答案与解析】(1)・.・。=1,h=-4>/3,c=10,b2-4ac=(-4>/3)2-4xlxl0=8>
8、0,=2a/3+V2,x2=2/3—>/2.⑵原方程可化为x2-2迈x-1=0.d=l,b=-2近,c=—l,h2-4ac=(-2>/2)2-4xlx(-1)=12>0,兀二-(-2血)土辰二2近土2乜二逅*石*~271-：~-'X]=>/2+屈,x2->/2->/3.(3)护2,b二-2返，c=-5b'-4ac=(-2)2-4X2X(-5)=8+40二48；b±厶24ac_2晅土a/482X2__2后±4貞Z^4Z_V2±2V32~~Z._V2+2V3„_V2-2V3••X1,X2■_2_2【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在b
9、2-4ac>0的前提卜一，代入求根公式
